Matlab求解线性方程组非线性方程组

/求解线性方程组

solve，linsolve

例：

A=[5042;1-121;4120;1111];

%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格

B=[3;1;1;0]

X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量

X=linsolve(A,B)

diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）;%sym（）用来定义一个符号表达式

diff(F);%matlab区分大小写

pretty(ans)%pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

非线性方程求解

fsolve(fun,x0,options)

其中fun为待解方程或方程组的文件名；

x0位求解方程的初始向量或矩阵；

option为设置命令参数

建立文件fun.m：

functiony=fun(x)

y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)),...

x(2)-0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))

注：

...为续行符

m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

Matlab求解线性方程组

AX=B或XA=B

在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：

X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；

X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。

对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：

m＝n恰定方程，求解精确解；

m>n超定方程，寻求最小二乘解；

m<n不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。

针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。

一．恰定方程组

恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：

Ax=b其中A是方阵，b是一个列向量；

在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：

（1）利用cramer公式来求解法；

（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；

（3）利用gaussian消去法；

（4）利用lu法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式与逆的计算大都在lu分解的基础上进行。

在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。

在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。

如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。

注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。二．超定方程组

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；

【例7】

求解超定方程组

A=[2-13;31-5;4-11;13-13]

A=

2-13

31-5

4-11

13-13

b＝[303-6]’;

rank(A)

ans=

3

x1=A\b

x1=

1.0000

2.0000

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

1.0000

2.0000

1.0000

A*x1-b

ans=

1.0e-014

-0.0888

-0.0888

-0.1332

0

可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。三．欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。

【例8】

解欠定方程组

A＝[1-211;1-21-1;1-215]

A=

1-211

1-21-1

1-21-1

1-215

b=[1-15]’

x1=A\b

Warning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015

x1=

0

-0.0000

0

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

0

-0.0000

0.0000

1.0000四．方程组的非负最小二乘解

在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：

（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x的条件下；

（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；

（3）[X,W]=nnls(A,b)当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。

【例9】求方程组的非负最小二乘解

A=[3.4336-0.52380.6710

-0.52383.2833-0.7302

0.6710-0.73024.0261];

b=[-1.0001.50002.5000];

[X,W]=nnls(A,b)

X=

0