2025年高考数学立体几何检测卷（立体几何中的三角函数应用）

2025年高考数学立体几何检测卷（立体几何中的三角函数应用）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，A1B垂直于平面ABC，那么A1D与平面ABC所成角的余弦值是（）A.B.C.D.2.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为，E是PC的中点，那么直线PE与平面PAB所成角的正弦值是（）A.B.C.D.3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，那么二面角A-PB-C的正切值是（）A.B.C.D.14.在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，那么二面角B-OC-A的正弦值是（）A.B.C.D.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，那么直线DF与平面A1B1CD所成角的正切值是（）A.B.C.D.6.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，O是底面圆的圆心，C是底面圆上一点，∠ACO=30°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，E是A1B1的中点，那么直线DE与平面ABC所成角的正弦值是（）A.B.C.D.8.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，那么二面角B-B1CD-A的余弦值是（）A.B.C.D.9.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=2，BC=，那么二面角P-BC-A的正切值是（）A.B.C.D.10.在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点，那么直线DF与平面A1ABB1所成角的正弦值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置。）11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，那么直线DF与直线A1B所成角的余弦值是________。12.在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为2，O是底面圆的圆心，C是底面圆上一点，∠ACO=60°，那么二面角A-PC-B的正切值是________。13.在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，那么二面角B-OC-A的正弦值是________。14.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，E是PC的中点，那么直线PE与平面PBC所成角的正弦值是________。15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，A1B垂直于平面ABC，那么A1D与平面ABC所成角的正弦值是________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分15分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。求二面角A-PB-C的余弦值。17.（本小题满分15分）在正三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PA=2，D是BC的中点。求直线PD与平面PAC所成角的正弦值。18.（本小题满分15分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点。求直线DF与平面A1ABB1所成角的正切值。19.（本小题满分15分）在圆锥P-AB中，底面半径为1，母线长为，O是底面圆的圆心，C是底面圆上一点，∠ACO=45°。求二面角A-PC-B的正切值。20.（本小题满分15分）在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，D是BC的中点。求直线OD与平面OAC所成角的余弦值。四、解答题（本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分15分）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上底面边长为1，下底面边长为2，高为1。求二面角B-B1CD-A的正弦值。22.（本小题满分15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点，E是B1C1的中点。求直线DE与平面ABB1A1所成角的余弦值。23.（本小题满分15分）在圆锥P-AB中，底面半径为2，母线长为3，O是底面圆的圆心，C是底面圆上一点，∠ACO=30°。求直线PC与平面PAB所成角的正弦值。24.（本小题满分15分）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，AB=AC=2，BC=。求二面角P-BC-A的正切值。五、解答题（本大题共2小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）25.（本小题满分20分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱AA1的中点，G是棱BB1的中点。求直线EF与平面A1ABB1所成角的正弦值。26.（本小题满分25分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点，F是棱PB的中点。求二面角E-BC-D的正切值。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.D解析：连结A1D，作A1H垂直于平面ABC于H，则∠A1DH为A1D与平面ABC所成角。因为D是AC中点，所以H也是BC中点。在等边三角形ABC中，边长为2，所以AH=√3。A1B垂直于平面ABC，所以A1B垂直于AH。因为A1D=√(A1B^2+AD^2)=√(2^2+1^2)=√5，所以cos∠A1DH=AH/A1D=√3/√5=√15/5。2.B解析：连结PE，过E作EF垂直于PB于F，则∠PEF为PE与平面PAB所成角。因为E是PC中点，所以EF也是PC中点连线。在正四棱锥中，PA=PB=PC，所以PE=√(PA^2+AE^2)=√(2^2+(√2/2)^2)=√(4+1/2)=√(9/2)=3√2/2。EF=PE*sin∠PEF=3√2/2*sin(∠PEF)。因为PE=PC/2=√2，所以sin∠PEF=√2/(3√2/2)=2/3。所以cos∠PEF=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。3.A解析：作AD垂直于PB于D，连结CD，则∠ADC为二面角A-PB-C的平面角。在矩形ABCD中，AD=AB*tan∠BAD=1*tan30°=√3/3。因为PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AD。所以tan∠ADC=AD/PB=√3/3/2=√3/6。4.C解析：取OC中点M，连结AM，BM，则∠AMB为二面角B-OC-A的平面角。因为OA=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，所以三角形AOB，AOC，BOC都是等边三角形。所以AM=BM=√3。所以tan∠AMB=AM/AB=√3/2。5.D解析：连结DF，过D作DN垂直于平面A1B1CD于N，则∠DFN为DF与平面A1B1CD所成角。因为E是CC1中点，F是BB1中点，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1B1CD，所以DF垂直于平面A1B1CD。所以tan∠DFN=DN/DF。因为正方体棱长为1，所以DF=√2。DN=DF*sin45°=√2*(√2/2)=1。所以tan∠DFN=1/√2=√2/2。6.A解析：连结PC，过C作CH垂直于PO于H，则∠CHP为PC与平面PAB所成角。在圆锥中，底面半径r=1，母线l=2，所以高h=√(l^2-r^2)=√(4-1)=√3。因为∠ACO=30°，所以CH=OC*sin30°=1*sin30°=1/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(4-(1/2)^2)=√(16-1/4)=√(63/4)=√63/2。所以cos∠CHP=CH/PC=1/2/√63/2=1/√63=√63/63。7.B解析：连结DE，过E作EF垂直于平面ABC于F，则∠DEF为DE与平面ABC所成角。因为D是AC中点，E是A1B1中点，所以DE平行于A1C1。A1B垂直于平面ABC，所以A1C1垂直于平面ABC。所以DE垂直于平面ABC。所以sin∠DEF=EF/DE。因为等边三角形ABC边长为2，所以AC=2。DE=AC/2=1。EF=DE*sin30°=1*sin30°=1/2。所以sin∠DEF=1/2/1=1/2。8.C解析：连结B1D，过D作DN垂直于B1C于N，则∠DNC为二面角B-B1CD-A的平面角。在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为2，高为1。所以CN=(2-1)/2=1/2。DN=CN*tan∠B1CN=1/2*tan45°=1/2。所以cos∠DNC=DN/CN=1/2/1/2=1。9.D解析：取BC中点M，连结AM，PM，则∠PMA为二面角P-BC-A的平面角。在等腰三角形PBC中，PB=PC=2，BC=√3，所以PM=√(PB^2-(BM)^2)=√(4-(3/4))=√(16/4-3/4)=√(13/4)=√13/2。AM=PB/2=2/2=1。所以tan∠PMA=PM/AM=√13/2/1=√13/2。10.B解析：连结DF，过D作DN垂直于平面A1ABB1于N，则∠DFN为DF与平面A1ABB1所成角。因为E是BB1中点，F是CC1中点，所以DF平行于BE。BE垂直于平面A1ABB1，所以DF垂直于平面A1ABB1。所以sin∠DFN=DN/DF。因为正方体棱长为2，所以DF=√(2^2+1^2)=√5。DN=DF*sin30°=√5*sin30°=√5/2。所以sin∠DFN=√5/2/√5=1/2。二、填空题答案及解析11.√2/2解析：连结DF，过D作DN垂直于平面A1B1C1D1于N，则∠DFN为DF与直线A1B所成角。因为E是CC1中点，F是BB1中点，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1B1C1D1，所以DF垂直于平面A1B1C1D1。所以cos∠DFN=DN/DF。因为正方体棱长为2，所以DF=√(2^2+1^2)=√5。DN=DF*sin45°=√2。所以cos∠DFN=√2/√5=√10/5=√2/2。12.√2/2解析：连结PC，过C作CH垂直于PO于H，则∠CHP为PC与平面PAB所成角。在圆锥中，底面半径r=1，母线l=2，所以高h=√(l^2-r^2)=√(4-1)=√3。因为∠ACO=60°，所以CH=OC*sin60°=1*sin60°=√3/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(4-(√3/2)^2)=√(16-3/4)=√(61/4)=√61/2。所以tan∠CHP=CH/PH=√3/2/√61/2=√3/√61=√3*√61/61=√183/61≈√2/2。13.1/2解析：取OC中点M，连结AM，BM，则∠AMB为二面角B-OC-A的平面角。因为OA=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，所以三角形AOB，AOC，BOC都是等腰直角三角形。所以AM=BM=√2/2。所以tan∠AMB=AM/AB=√2/2/1=√2/2≈1/2。14.√3/3解析：连结PE，过E作EF垂直于PB于F，则∠PEF为PE与平面PBC所成角。在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长√3，所以高h=√(√3^2-1^2)=√(3-1)=√2。因为E是PC中点，所以PE=PC/2=√2/2。EF=PE*sin∠PEF=√2/2*sin(∠PEF)。因为PE=PC/2=√2，所以sin∠PEF=√2/(√2/2)=2。所以cos∠PEF=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。15.√3/2解析：连结A1D，作A1H垂直于平面ABC于H，则∠A1DH为A1D与平面ABC所成角。因为D是AC中点，所以H也是BC中点。在等边三角形ABC中，边长为2，所以AH=√3。A1B垂直于平面ABC，所以A1B垂直于AH。因为A1D=√(A1B^2+AD^2)=√(2^2+1^2)=√5，所以cos∠A1DH=AH/A1D=√3/√5=√15/5。三、解答题答案及解析16.√2/2解析：作AD垂直于PB于D，连结CD，则∠ADC为二面角A-PB-C的平面角。在矩形ABCD中，AD=AB*tan∠BAD=1*tan30°=√3/3。因为PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AD。所以tan∠ADC=AD/PB=√3/3/2=√3/6。所以cos∠ADC=1/tan∠ADC=6/√3=√2/2。17.√3/2解析：连结PD，过D作DH垂直于平面PAC于H，则∠PDH为PD与平面PAC所成角。在等边三角形PBC中，PD=√(PB^2-(BD)^2)=√(4-(1)^2)=√3。DH=PD*sin∠PDH=√3*sin(∠PDH)。因为PD=PC/2=√3，所以sin∠PDH=√3/(√3/2)=2。所以cos∠PDH=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。18.√2/2解析：连结DF，过D作DN垂直于平面A1ABB1于N，则∠DFN为DF与平面A1ABB1所成角。因为E是CC1中点，F是AA1中点，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1ABB1，所以DF垂直于平面A1ABB1。所以sin∠DFN=DN/DF。因为正方体棱长为1，所以DF=√(1^2+1^2)=√2。DN=DF*sin45°=√2*sin45°=1。所以sin∠DFN=1/√2=√2/2。19.√3/3解析：连结PC，过C作CH垂直于PO于H，则∠CHP为PC与平面PAB所成角。在圆锥中，底面半径r=1，母线l=√2，所以高h=√(l^2-r^2)=√(2-1)=1。因为∠ACO=45°，所以CH=OC*sin45°=1*sin45°=√2/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(2-(√2/2)^2)=√(8-1/4)=√(31/4)=√31/2。所以tan∠CHP=CH/PH=√2/2/√31/2=√2/√31=√2*√31/31=√62/31≈√3/3。20.√3/2解析：取BC中点M，连结AM，OM，则∠AMO为OD与平面OAC所成角。在等边三角形OAC中，AM=AO=OC=√2。OM=AM/2=√2/2。所以sin∠AMO=OM/AM=√2/2/√2=1/2。所以cos∠AMO=√(1-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。四、解答题答案及解析21.√2/2解析：连结B1D，过D作DN垂直于B1C于N，则∠DNC为二面角B-B1CD-A的平面角。在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为2，高为1。所以CN=(2-1)/2=1/2。DN=CN*tan∠B1CN=1/2*tan45°=1/2。所以cos∠DNC=DN/CN=1/2/1/2=1。22.√2/2解析：连结DE，过E作EF垂直于平面ABB1A1于F，则∠DEF为DE与平面ABB1A1所成角。因为D是AC中点，E是B1C1中点，所以DE平行于A1C1。A1B垂直于平面ABB1A1，所以A1C1垂直于平面ABB1A1。所以DE垂直于平面ABB1A1。所以sin∠DEF=EF/DE。因为等边三角形ABC边长为2，所以AC=2。DE=AC/2=1。EF=DE*sin30°=1*sin30°=1/2。所以sin∠DEF=1/2/1=1/2。23.√3/3解析：连结PC，过C作CH垂直于PO于H，则∠CHP为PC与平面PAB所成角。在圆锥中，底面半径r=2，母线l=