13.3.1等腰三角形 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.3.1等腰三角形我们知道，由等腰三角形的定义，可以判断一个三角形是否为等腰三角形，即如果给定的三角形有两条边相等，就说这个三角形是等腰三角形.还有没有别的判定方法呢？我们知道，等腰三角形的两底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？知识回顾操作探究：在半透明纸上画一线段BC，然后以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，画两个相等的角（使用量角器），如下图所示，两角终边的交点为点A，那么，在△ABC中，∠B=∠C.用刻度尺找出边BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折，观察边AB与AC能否重合？操作探究边AB与AC是完全重合的，即AB=AC.结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.探究证明你能从理论上证明这个结论吗？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：△ABC是等腰三角形.证明：如图，过点A作边BC上的高线AD.则∠ADC=∠ADB=90°.∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.D等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.典型例题例1在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.

判断△ABC是什么三角形，为什么？提示：要判定一个三角形是否为等腰三角形，可以用两边相等，也可以用两角相等进行判断.本题给出的条件都是角的大小，因此我们可以运用是否有两角相等进行判断.解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.∵∠B=70°，∴∠C=∠B.∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）.解：本题共有两种情况.第一种情况：过点P作PD∥OB交OC于点D.∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC.∵DP∥OB，∴∠PDO=∠BOC.∴∠AOC=∠PDO.∴OP=PD.∴△OPD为等腰三角形.例2如图，OC是∠AOB的平分线，P为OA上一点，请过P点添加条平行线，构造出等腰三角形.提示：经过直线外一点，有且只有一条直线已知直线平行.所以，过P点可以分别作OB和OC的平行线.如图所示.例2如图，OC是∠AOB的平分线，P为OA上一点，请过P点添加条平行线，构造出等腰三角形.提示：经过直线外一点，有且只有一条直线已知直线平行.所以，过P点可以分别作OB和OC的平行线.如图所示.解：

第二种情况：过点P作PE∥OC交OB的反向延长线于点E.∵PE∥OC，∴∠EPO=∠AOC.∴∠E=∠BOC.∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC.∴∠EPO=∠E.∴OP=OE.∴△OPE是等腰三角形.这两个图形是关于角平分线、平行线、等腰三角形的一个基本图形，通过探究，我们发现上述例题将结论和条件之一互换，结论还成立，即等腰三角形中，角平分线和平行线往往同时出现.且满足我们常说的“知二推一”，上述图形是基本图形，要认真领会.探究发现探究1：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过O点作DE∥BC，分别交AB，AC于D，E两点，则图中有几个等腰三角形？说明理由.两个等腰三角形：△ABC和△OBC.等腰三角形：△ABC，△OBC，△ADE，△BCD，△COE.探究发现探究2：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.（1）若过O点作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，则图中有几个等腰三角形？说明理由.（2）探究DE，BD，CE之间满足的等量关系.△BOD和△COE是等腰三角形，所以BD=OD，CE=OE.则DE=OD+OE=BD+CE.探究发现探究3：如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACP的平分线交于点O，过点O作OD∥BC，交AB于点D，交AC于点E.探究DE，BD，CE之间满足的等量关系.在图1中，OB平分∠ABC，OD∥BC，则有∠1=∠2=∠3.所以BD=OD.在图2中，OC平分∠ACP，OE∥PC，则有∠4=∠5=∠O.所以EO=EC.在图3中，BD=OD，EO=EC，而OD=DE+OE，所以DE，BD，CE之间满足的等量关系为BD=DE+CE.例3已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC，点E为BD的中点.求证：CE平分∠BCD.证明：∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD（等边对等角）.∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC-∠ADB=∠ABC-∠ABD.即∠BDC=∠DBC.∴BC=DC（等角对等边）.∵E点为BD的中点，∴CE平分∠BCD（三线合一）.例4已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上.证明：∵∠C=90°，∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（三角形的内角和为180°）.∵BD平分∠ABC（已知），∴∠DBA=∠ABC=30°（角平分线的定义）.∴∠DBA=∠A.∴BD=AD（等角对等边）.∴点D在AB的垂直平分线上（垂直平分线的判定定理）.例5已知：如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD是角平分线.求证：BC=AD+BD.证明一：如图，在BC上截取BE=BD，BF=AB，连接DE，DF.证明二：如图，延长BD至E，使得BE=BC，在BC上截取BF=AB，连接CE，DF.还有其他方法吗？深入探究通过对等腰三角形的学习，我们知道了相等的边所对的角相等，相等的角所对的边也相等.那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？请你画出几个不同的三角形探索一下.下面我们把这两个命题证明一下.首先看命题：大边对大角.已知：如图，在△ABC中，AB＞AC.求证：∠ACB＞∠ABC.证明：在大边AB上截取AD=AC，连接CD，那么△ACD为等腰三角形.∴∠ACD=∠ADC（等边对等角）.∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＞∠ABC.∵∠ACB＞∠ACD，∴∠ACB＞∠ABC.还有其他方法吗？再看另一个命题：大角对大边.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC.求证：AB＞AC.证明：在∠ACB内部截取∠DCB，使得∠DCB=∠ABC，且点D在边AB上.∵∠DCB=∠ABC，∴DC=DB（等角对等边）.∵AB=AD+DB，∴AB=AD+DC.又∵在△ADC中，AD+DC＞AC（两边之和大于第三边），∴AB＞AC.请大家回顾本节课的内容，总结梳理：1.等腰三角形的判定方法有哪几种？2.结合本节课的学习，谈谈等腰三角形的性质和判定的区别和联系.总结提升达标检测1.如图，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，图中除BC外，与BC相等的线段分别是____________.2.如图，在△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的平分线，MN过O点，且MN∥BA，分别交AC于点N，交BC于点M.则△CMN的周长为__________.3.如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E.求证：△BED是等腰三角形.4.如图，在△ABC内，∠B