数学建模第八讲层次分析法

第八讲层次分析法8.1层次分析模型问题分析问题:选择旅游地

假期到了，现有桂林、黄山、北戴河三个旅游地供你选择，如何在三个目的地中选择？8.1层次分析模型

影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食，和旅途条件,不同的人对这些因素的关注程度是不同的，从而会选择不同的目的地。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途用层次结构描述问题金属块银金铜C3C1C2C4C5引例：金银铜含量的确定

有一块含金银铜的单位重量金属，分成5块。（1）每块的重量未知，5块重量两两之比已知；（2）每块中金、银、铜的含量未知，三种金属含量两两之比已知。求金属块中金、银、铜的含量。模型建立及求解构造成对比较阵

元素之间两两对比，对比采用相对尺度。

设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性比较尺度

当比较Ci和Cj对上层因素O的影响时如何选取aij？AHP(层次分析法)的创始人Saaty建议取aij的范围为1—9，1—1/9。1—9尺度aij的含义尺度aij含义1Ci与Cj的影响相同35792,4,6,81,1/2,…,1/9Ci比Cj的影响稍强Ci比Cj的影响强Ci比Cj的影响明显的强Ci比Cj的影响绝对的强上述相邻判断的中间值Cj与Ci的影响之比为aij的互反数某人利用成对比较得到阵A是正互反阵

同样方法构造第3层(方案层)对第2层的每个准则的成对比较阵，例如要由A确定C1,…,C5对O的相对重要性的权数。

如果正互反阵A满足则称A为一致阵。

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。

A的任一列向量是对应于n的特征向量。

A的归一化特征向量可作为权向量。

对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根

的特征向量作为权向量w，即一致阵性质特值近似算法一致性检验

所谓一致性检验就是对A确定不一致的允许范围。已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n

阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI—随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110

定义一致性比率CR=CI/RI。当CR<0.1时，通过一致性检验。Saaty的结果如下准则层对目标的权向量及一致性检验最大特征根

=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验。

方案层对于准则Ck的权向量及一致性检验因此，w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T

可以作为准则层（Ck）对目标层（O）的相对权重。求出相应的最大特征根、一致性指标和相应的归一化特征向量。第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验。组合权向量方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量对于3个层次的组合权向量

更一般地，对于s个层次的决策问题，第k层对第1层(设只有一个元素)的组合权向量为

w(k)=W(k)w(k-1),k=3,4,…s.其中W(k)是以第k层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵。w(s)=W(s)W(s-1)…W(3)w(2)。

于是第s层对第1层的组合权向量为

组合一致性检验

在旅游问题中，第2层对第1层的成对比较矩阵A及第3层对第2层的成对比较矩阵B1,…,B5都通过了一致性检验，但B1,…,B5是独立作出的，还需检验其组合一致性。

记B1,…,B5的一致性指标分别为CI1(3),…,CI5(3),则反映了B1,…,B5对第1层的整体不一致程度。相应地构造第3层通过组合一致性检验我们认为整体通过了一致性检验。其中为随机一致性指标(相等)。第3层的组合一致性比率为第3层对第1层的组合一致性比率为层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型

深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵

用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验

对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。