人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系（第3课时）》示范教学课件

点和圆、直线和圆的位置关系（第3课时）王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动．人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李．”取之信然．译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动．别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子．”拿李子来一尝，果真是苦的．王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？假设“李子甜”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设不成立结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的．我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆．如果A，B，C

三点在同一条直线上，经过点A，B，C

还能作出一个圆吗？探究ABCmn过同一条直线上的三个点不能作圆．已知：A，B，C

是直线l

上的三点．求证：经过A，B，C

三点不能作一个圆．ABCl探究

如何证明你的结论？l1l2ABClP证明：假设经过A，B，C三点可以作一个圆．设这个圆的圆心为P．∵PA＝PB＝PC，∴点P既在线段AB的垂直平分线l1

上，也在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1

与l2

的交点，

而l1⊥l与l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴经过同一条直线上的三点A，B，C不能作圆．上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫做反证法．反证法已知：在△ABC中，AB≠AC．求证：∠B≠∠C．证明：假设___________，∴___________（___________）这与_________________矛盾．假设不成立．∴___________．ABC∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知AB≠AC∠B≠∠C练习如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？探究ABCD

已知：四边形

ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求证：A，B，C，D四点共圆．ABCD分析：不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过A，B，C三点的⊙O，再证明第四点（点D）在⊙O上．

已知：四边形

ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求证：A，B，C，D四点共圆．如何证明点D在⊙O上？O思考假设点D不在过A，B，C三点的⊙O上，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？

假设点

D不在⊙O上，则点

D在⊙O内或点

D在⊙O外．

ABCDOABCOD

证明：过

A，B，C三点作⊙O，假设点

D不在⊙O上，则点

D在⊙O内或点

D在⊙O外．

（1）若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠E＝180°．ABCDOE∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠E．这与△CDE中，∠ADC＞∠E矛盾，∴点D不在⊙O内．

已知：四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°．求证：A，B，C，D四点共圆．

ABCODE（2）若点D在⊙O外，设AD交⊙O于E，连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°．∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝∠AEC．

这与△CDE中，∠AEC＞∠D矛盾，∴点D不在⊙O外．

综上，假设不成立，即点

D在过

A，B，C三点的圆上．

用反证法证明命题的一般步骤是什么？思考第1步：假设命题的结论不成立．第2步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果．

第3步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的．

例1

用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

解：已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H．求证：∠1＝∠2．根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”，可得A′B′∥CD．证明：假设∠1≠∠2．过点G作直线A′B′，使∠EGB′＝∠2．A′B′BFACDEHG12A′B′BFACDEHG12这样，过点G就有两条直线AB与A′B′与直线CD平行．这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾．这说明假设∠1≠∠2不正确，∴∠1＝∠2．∴两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．用反证法主要解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，适用于：（1）结论是否定型的命题；（2）结论包含的可能结果有很多或有无限种可能情况的命题；（3）结论含有“至少”“至多”等词语的命题．

例2

用反证法证明：一个三角形中至少有两个锐角．解：已知：如图，∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A，∠B，∠C至少有两个锐角．证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角，不妨设0°＜∠A＜90°，则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°．因此∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．∴一个三角形中至少有两个锐角．