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文档简介
导数在不等式
存在性问题中的应用年级：高二（下）学科：数学（人教A版）新课引入
不等式存在性问题是中学数学的重要内容，不仅考查函数、不等式的相关知识，更涉及到转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法。而导数，以其本身所具备的一般性和有效性，在求解函数单调性、极值、最值中，起到无可替代的作用，是我们研究存在性问题的有力工具。新课探究分析
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.存在
,使得
成立存在实数
，使得
成立，只需.解法一:
，不存在
使得
成立.例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.（1）当
时，
恒大于0，
在
上单调递增，求导得:，
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.（2）当
时，令
，解得.①当
，即
时，
，不存在
使得
成立.解法一:
存在实数
，使得
成立，只需.求导得:，
在
上单调递增.恒大于0，解法一:
当
时
，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，所以
解得.综上所述：实数
的取值范围是.
②当
，即
时，
存在实数
，使得
成立，只需.求导得:，
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.方法总结函数最值法：将不等式存在性问题转化为某含参函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，然后构建不等式，进而求出参数的取值范围.
存在
，使
成立一般地：
存在
，使
成立新课探究存在
,使得
成立分析
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.思考
能否将参数
与变量
分离开呢？
记
解法二:
存在实数,使得
成立.也即存在实数,使得
成立.求导得：
，
令
，解得
.
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.只需
.
记
，
因此，实数
的取值范围是.所以
在
单调递减
，
在
单调递增.分离参数法：将不等式通过恒等变形，将要求的参数分离出来单独放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数，从而转化为新函数的最值，进而求出参数的范围.方法总结一般地：存在
，使
成立存在
，使
成立新课探究思考
存在实数
，使得
成立能转化为不等式左右两侧函数图象间的什么位置关系？函数的图象有位于图象下方的部分存在实数
，使得
成立分析记
，
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.解法三:
成立，则原问题等价于函数
的图象有位
记
，
，则存在实数
，使得
于
图象下方的部分.在
上单调递增，表示恒过定点
的一条直线.是该直线的斜率.例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.切线方程为：
，解法三:
设切点为,
将点
代入
则切线斜率
，
,得.则切线斜率
，
所以
的取值范围是.（1）当
时,显然不符合题意；
综上所述：实数
的取值范围是.
例
已知
，若存在实数
使得
成立，求实数
的取值范围.
只需过点
（2）当
时，求出函数
的切线斜率.数形结合法：将不等式存在性的问题，合理地转化为一个函数的图象与另一个函数图象的位置关系，进而利用图形的直观性解决问题.函数
的图象有位于
图象下方的部分
方法总结
一般地：存在
，使
成立函数
的图象有位于
图象上方的部分
存在
，使
成立课堂小结转化化归、分类讨论、数形结合一、利用导数解决不等式存在性问题的基本方法1、函数最值法2、分离参数法3、数形结合法三、数学思想方法二、恒成立、存在性问题的区别课后作业1.若存在实数
，使不等式
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