第二章 向量代数、平面与直线

§3.2数量积向量积混合积

一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、向量的混合积

四、小结一、两向量的数量积

启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1FSM2

定义1

两个向量α与β的数量积是一个数，它等于这两个向量的长度与它们的夹角θ=(α,β)余弦的乘积，记作α·β或(α，β)，即α·β=|α|·|β|·cosθ

数量积也称为“点积”、“内积”.

结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：证证时当当或之一为零时，可以认为数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：易证下面证明分配律：证

当γ≠0时，有(α+β)·γ=|γ|·Prjγ(α+β)，Prjγ(α+β)=Prjγα+Prjγβ，由投影性质2，可知当γ=0时，上式显然成立；(α+β)·γ=|γ|(Prjγα+Prjγβ)=|γ|Prjγα+|γ|Prjγβ=α·γ+β·γ例1试用向量证明三角形的余弦定理.

证

设在△ABC中，

∠BCA=θ,|BC|=α,|CA|=β,|AB|=γ

，

ABC要证

γ2=α2+β2-2αβcos则有γ=α-β，

从而|γ|2=γ·γ=(α-β)·(α-β)

=α·α+β·β-2α·β

=|α|2+|β|2-2|α|·|β|cos(α,β)

∧记

CB=α，CA=β,AB=γ，

即

γ

2=α

2+β2-2α

βoos

例2

已知|α|=3,|β|=6，α与β的夹角为π/3

，且向量3α-λβ与α+2β垂直，求λ的值.

解

由两个向量垂直的充要条件，得

0=(3α-λβ)·(α+2β)

=3α2+(6-λ)α·β-2λβ2=3|α|2+|α||β|(6-λ)cos(π/3)-2λ|β|2

=81-81λ

于是λ=1.

直角坐标系下向量内积的计算

设α=x1i+y1j+z1k=(x1,y1,z1),β=x2i+y2j

+z2k=(x2,y2,z2).

按数量积的运算规律可得

α·β=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j

+z2k)

α·β=x1x2+y1y2+z1z2.

数量积的坐标表达式由此可知两向量垂直的充要条件为特别地由两向量夹角余弦的坐标表示式

2=x12+y12+z12.

例3设α=(1,2,3),β=(8,5,11),γ=(7,5,1).求α+β+γ的长度和方向余弦，并求α+β+γ与α的夹角.=(16,12,15).解

α+β+γ=(1，2，3)+(8，5，11)+(7，5，1)|α+β+γ|==25，

它的方向余弦为cosα=16/25，cosβ=12/25，

cosγ=15/25=3/5α+β+γ与α的夹角的余弦为

而解

例4已知向量α、β的模|α|=2,|β|=1和它们的夹角(α，β)=π/3，求向量A=2α+3β与向量B=3α-β的夹角.同理可以计算出|从而二、

两向量的向量积

实例向量积的几何意义：向量积也称为“叉积”、“外积”.

定义2

两向量α与β的向量积是一个向量，记作α×β，它的模是|α×β|=|α|·|β|sinθ(θ=（α,β）），它的方向与α和β垂直，并且α、β、α×β构成右手系，

如果α与β是非零且不共线的向量，α与β的叉积的模|α×β|=|α||β|sinθ就是以α、β为邻边的平行四边形面积的数值.证//由向量积的定义可以推得：

于是θ=0或π，即α∥β；

当α，β中有一个为零或两个都为零时，由于零向量与任何向量都平行，所以结论仍然成立.

当α，β都不为零时，如果α×β=0，由于|α|≠0,|β|≠0，故必有sinθ=0，

反之，如果α∥β，那么θ=0或θ=π，于是sinθ=0,从而|α×β|=0，即α×β=0.向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：下面来推导向量积的坐标表示式

向量积的坐标表达式设α=x1i+y1j+z1k，β=x2i+y2j+z2k,

（x1i+y1j+z1k）（x2i+y2j+z2k）

向量积还可用三阶行列式表示向量积符合下列运算规律：解下面推导混合积的坐标表达式三、向量的混合积

定义3

设已知三个向量α、β和γ.如果先作两个向量α和β的向量积α×β，把所得到的向量与第三个向量γ再作数量积(α×β)·γ，这样得到的数量叫做三向量α、β、γ的混合积.记作(α，β，γ)或［αβγ］.

设α=x1i+y1j+z1k，

β=x2i+y2j+z2k,

γ=x3i+y3j+z3k,

因为所以(α，β，γ)=(α×β)·γ混合积的坐标表达式（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：(α，β，γ)=(α×β)·γ的绝对值表示以向量α、β、γ为棱的平行六面体的体积.

如果α、β、γ组成左手系，那么混合积的符号是负的.

如果向量α、β、γ组成右手系，那末混合积的符号是正的；ADBC

因为以向量α、β、γ为棱的平行六面体的底面积S在数值上等于|α×β|，它的高h等于向量γ在向量f上的投影的绝对值，即h=|Prjfγ|=|γ||cosθ|，所以平行六面体的体积

V=Sh=|α×β||γ||cosθ|=|(α，β，γ)|.(2)混合积具有轮换对称性

［αβγ］（3）三向量共面的充要条件是证若α、β、γ共面，当α∥β时，α×β=0，自然有α×β)·γ=0；因而α×β⊥γ，仍有(α×β)·γ=0.反之，若(α，β，γ)=0，当α×β=0时，有α∥β，故α、β、γ共面；，有α×β⊥γ，当α∥β时，α×β垂直于α，β所在的平面，当α×β≠0时又因α×β亦垂直于α及β，从而α、β、γ共面.(5)(α,β,γ+mα)=(α,β,γ)由混合积的定义可得下列性质：(1)(α，α，γ)=0；(2)(α，β，γ)=-(β，α，γ)；(3)((α1+α2)，β，γ)=(α1,β,γ)+(α2