专题：数列(有答案)

PAGEPAGE27专题：数列一、选择题1.已知等差数列{}的前n项和为，则的最小值为（）A．7B．8C．D．2.已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是A.2012 B.2013C.2014 D.20153.已知数列{}的前n项和为，且,则等于（）A．4B．2C．1D．4.已知{an}的前n项和为，则的值是（）A．13B．46C．76D．5.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（）A． B． C． D．6.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于9AB CD7.若数列的通项公式是() A.15B.12C.D.8.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则A． B．C． D．9.已知数列= A．4 B．2 C．1 D．-210.已知函数，且，则A．B．C．D．11.已知数列的前n项和，则的值为（）A．80B．40C．20D．1012.数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()A．120B．99C．11二、填空题13.已知数列中，当整数时，都成立，则＝．14.定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前2012项和的最大值为 15.已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和．16.已知数列中，当整数时，都成立，则＝．17.对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则的前n项和是。18.设是等差数列的前项和，且，则=.19.在一个数列中，如果,都有（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积。已知数列是等积数列，且，公积为27，则

。20.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn=___________21.已知数列满足，对于任意的正整数都有，则______22.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)

三、解答题23.已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若求数列的前n项和24.在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前n项和Sn.25.已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列的前三项.（Ⅰ）分别求数列，的通项公式;（Ⅱ）设，求证：26.27.28.已知数列的前项和为，且． （1）求，； （2）设，求数列的通项公式．29.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）若30.已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且成等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.31.各项均为正数的数列中，a1=1，Sn是数列的前n项和，对任意，有（1）求常数P的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前n项和Tn.32.已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立?若存在，求出bn；若不存在，说明理由．33.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan-2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．34.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和．35. 已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=(n∈N*),Cn=·。（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求证：cn+1≤cn；（3）求数列{cn}的前n项和Tn．36.已知数列满足=0且是的等差中项，是数列的前项和.(1)求的通项公式；（2）若，，求使成立的正整数n的最小值．37.已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.38. 已知（1）求数列{}的通项公式；（2）数列{}的首项b1=1，前n项和为Tn，且，求数列{}的通项公式.39.在数列中， （1）求数列的通项；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.40.(1)写出a2,a3,a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论；41.等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．42.已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和。43.已知等差数列{an}满足：a4＝6，a6＝10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的各项均为正数，Tn为其前n项和，若b3＝a3，T2＝3，求Tn.44.已知数列满足，，且，。(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．45.在数列中，，。（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和。（3）求数列的前项和。46.已知是等比数列，公比，前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证47.已知数列的前项和为,数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.

48.已知为等比数列，为等差数列的前n项和， （1）求的通项公式；（2）设，求49.在等比数列中，已知.（1）求的通项公式；Ks5u（2）求和.50.已知数列是首项为２，公比为的等比数列，为的前项和.（1）求数列的通项及；（2）设数列是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列的通项公式及其前项和.

试卷答案1.D2.D3.A因为，所以，解得，所以，即，选A.4.D5.A6.A7.A8.A9.A当时，，所以，当时，，即，选A.10.B因为，所以，，所以,选B.11.C12.A由，所以，即，即，解得.选A.13.由得，,即，数列{}从第二项起构成等差数列，1+2+4+6+8+…+28=211.14.201215.，所以，解得，所以，所以，所以，所以数列的前项和.16.21117.曲线，曲线导数为，所以切线效率为，切点为，所以切线方程为，令得，，即，所以，所以，是以2为首项，为公比的等比数列，所以。18.19.7820.21.19922.设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得

…

数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，

故所得整条螺旋线的长度

23.解：（Ⅰ）……2分…………3分又，………………4分……5分（Ⅱ）…………7分……………8分……9分………………11分……12分24.25.解：（Ⅰ）设d、q分别为等差数列、等比数列的公差与公比，且由分别加上1，1，3……………1分有……………2分…………4分…………6分（II）①②，①—②，得…………8分………………10分即………………12分26.27.28.解：（1）由已知，即，∴， 又，即，∴； （2）当时，， 即，易知数列各项不为零(注：可不证不说)， ∴对恒成立， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴，即．29.解：（1）由题意知当n=1时，两式相减得整理得：……5分∴数列是为首项，2为公比的等比数列。……7分（2）∴，……8分①②①—②得………………10分……12分∴……14分30.解：（1）由题意知当时，当时，两式相减得整理得：∴数列是以为首项，2为公比的等比数列。∴，①②①-②得31.32.(1)解：∵{an}为递增的等比数列，∴其公比为正数

又{a1，a3，a5}{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}

∴a1=1，a3=4，a5=16 2分

故

∴{an}的通项公式为 4分(2)解：假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d

当n=1时，a1b1=1，又a1=1，∴b1=1

当n=2时，a1b2+a2b1=4，即b2+2b1=4，∴b2=2 6分

故d=b2－b1=1，bn=b1+(n－1)d=n 8分

下面证明当bn=n时，a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2对一切n∈N*都成立

设Sn=a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1

即Sn=1×n+2×(n－1)+22×(n－2)+23×(n－3)+…++2n－2×2+2n－1×1①

2Sn=2×n+22×(n－1)+23×(n－2)+24×(n－3)+…++2n－1×2+2n×1② 10分

②－①得：

∴存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2对一切n∈N*都成立

13分另解：假设存在满足条件的等差数列{bn}，其公差为d，则

①

② 6分

②－①得： 8分

10分

∴，解得：b1=1，d=1，∴bn=n

故存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn－1+a3bn－2+…＋anb1=2n+1－n－2对一切n∈N*都成立 13分33.(1)解：设等比数列的公比为，

∵，n∈N*，∴，

∴ 2分

又，∴ 4分

∴n∈N*． 6分(2)解： 8分

∴，∴． 10分

令，随的增大而增大，∴

∴，．即实数的取值范围为． 12分34.（Ⅰ）设的公差为，的公比为由，得，从而因此………3分又，从而，故……………6分（Ⅱ）令……………9分，又………12分35.36.解：（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，

∴数列{an}的通项公式an=2n；………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，

∵Sn=b1+b2+…+bn，

∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①

∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②

②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1………………8分

=-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2………………10分

要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5

∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．………………12分37.(本小题主要考查数列、数列求和等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵是公比为的等比数列，∴.……………1分∴.从而，.……………3分∵是和的等比中项∴，解得或.……………4分当时，，不是等比数列，……………5分∴.∴.……………6分当时，.……………7分∵符合，∴.……………8分（2）解：∵，∴.①……………9分.②……………10分①②得……………11分……………12分.……………13分∴.……………14分38.39.解：（1）………………6分（2）由（1）可知当时，设………………8分则又及，所以所求实数的最小值为………………12分40.解：，……8分41.解：（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意.因此所以公式q=3，故（II）因为所以所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，42.解：（1）由已知，得 1分 当≥2时， 3分 所以 5分 由已知， 设等比数列的公比为，由得，所以 7分 所以 8分（2）设数列的前项和为， 则， ， 两式相减得 10分 11分 12分所以43.解析(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝6，,a1＋5d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2，))∴数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(6分)(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>0)．∵an＝2n－2，∴a3＝4，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1q2＝4，,b1(1＋q)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,b1＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－\f(2,3)，,b1＝9))(舍去)，∴Tn＝eq\f(b1(1－qn),1－q)＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.(12分)44.解：（1），∴。(2）由（1）知是以为首项，为公差的等差数列，∴，。，，∴，∴。45.（1）由条件得，又时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．（2）由得，，两式相减得：，所以．（3）由得所以．46.解：.（2）设=因为，所以47.解（1）………………4分++3，++3，两式作差：3-=2………10分(2)=…………13分48.-②得：（9分）整理得：（12分）49.（1）解：由条件得：1分2分K