人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《因式分解（第1课时）》示范教学课件

人教版八年级数学上册因式分解

第1课时

解：（1）x(x＋1)＝x2＋x；

计算：（1）x(x＋1)；（2）(x＋1)(x－1)；（3）(x＋1)(x＋1)．（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．问题

观察这些式子，你发现了什么？单项式×多项式多项式×多项式多项式×多项式一个多项式一个多项式一个多项式（1）x(x＋1)＝x2＋x；（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．

答：利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，可以将一个多项式写成几个整式的乘积的形式吗？思考

请把下列多项式写成整式的乘积的形式：（1）x2＋x＝_____________；（2）x2－1＝_____________；（3）x2＋2x＋1＝_____________．x(x＋1)

(x＋1)(x－1)(x＋1)2x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；x2＋2x＋1＝(x＋1)(x＋1)．上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．因式分解思考观察下面的动图，你发现因式分解与整式的乘法有什么关系？p(a＋b＋c)

pa＋pb＋pc整式的乘法因式分解因式分解与整式的乘法的关系：因式分解与整式的乘法是方向相反的变形．练习下列变形中，属于因式分解变形的是__________．（填序号）（1）a(b＋c)＝ab＋ac；

（2）x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；（3）a2－b2＝(a＋b)(a－b)；（4）a2－2a＋1＝(a－1)2．

解析：（1）由整式的乘积转化为多项式的形式，属于整式的乘法；（2）多项式变形后仍为多项式的形式，不属于因式分解；（3）（4）都由多项式转化成整式的乘积的形式，属于因式分解．√√××（3）（4）探究观察多项式ma＋mb－mc，它的各项有什么特点？mamb－mcmmmm公共的因式你能尝试分解因式ma＋mb－mc

吗？公因式多项式

ma＋mb－mc，它的各项都有一个公共的因式m，我们把因式

m

叫做这个多项式各项的公因式．探究

由

m(a＋b－c)＝ma＋mb－mc，可得ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．这样就把

ma＋mb－mc分解成两个因式的乘积的形式．其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a＋b－c是ma＋mb－mc

除以m所得的商．你能尝试分解因式ma＋mb－mc

吗？ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法思考如何寻找公因式？6a3b2－2ab3c－4ab2

的公因式是什么？最大公因数相同字母2a

b

a

b2一看系数二看字母三看字母指数最低次幂

答：6a3b2－2ab3c－4ab2

的公因式是2ab2．确定公因式要做到“三定”（1）定系数：各项系数都是整数时，取各系数绝对值的最大公因数；（2）定字母：公因式的字母是各项都含有的字母；（3）定指数：各项都含有的字母的指数，取最小的指数．确定公因式的方法练习找出下列各题中的公因式：（1）ax＋ay＋a；

（2）3mx－6nx2；（3）4a2b＋10ab2；

（4）12x2yz－9x3y2．公因式：a公因式：3x公因式：2ab公因式：3x2y

例1

把8a3b2＋12ab3c分解因式．

分析：先找出8a3b2

与12ab3c

的公因式4ab2，再提出公因式．提出公因式4ab2

后，另一个因式2a2＋3bc

就不再有公因式了．

解：

8a3b2＋12ab3c

＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc

＝4ab2(2a2＋3bc)．如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？

解：8a3b2＋12ab3c＝4ab·2a2b＋4ab·3b2c＝4ab(2a2b＋3b2c)．如果提出公因式4ab，另一个因式还有公因式b．提公因式时要注意找系数的最大公因数，相同字母的最低次幂．

例2

把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．

解：2a(b＋c)－3(b＋c)

＝(b＋c)(2a－3)．

分析：b＋c是这两个式子的公因式，可以直接提出．如何检查因式分解是否正确？如何检查因式分解是否正确？（1）因式分解的结果要写成乘积的形式；（2）分解后的各个因式不再含有公因式；