高等数学（下册）全册配套完整课件

高等数学（下册）全册配套完整课件习题课一、内容小结

二、实例分析机动目录上页下页返回结束向量代数与空间解析几何

第八章向量代数设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束一、内容小结

混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束空间平面一般式点法式截距式三点式1.空间直线与平面的方程机动目录上页下页返回结束空间解析几何为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;机动目录上页下页返回结束面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系机动目录上页下页返回结束直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系直线:机动目录上页下页返回结束3.相关的几个问题(1)过直线的平面束方程机动目录上页下页返回结束(2)点的距离为到平面

：Ax+By+Cz+D=0

d机动目录上页下页返回结束到直线的距离为(3)

点d机动目录上页下页返回结束二、实例分析例1.

求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:

所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束例2.

求直线与平面的交点.提示:

化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束例3.

求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线机动目录上页下页返回结束例4.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束例5.

设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动目录上页下页返回结束所求为例6.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L

的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程机动目录上页下页返回结束思路:先求交点例7.求过点且与两直线都相交的直线L.提示:的方程化为参数方程设L与它们的交点分别为

再写直线方程.机动目录上页下页返回结束三点共线机动目录上页下页返回结束例8.直线绕z

轴旋转一周,求此旋转曲面的方程.提示:在L

上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动目录上页下页返回结束思考与练习画出下列各曲面所围图形:(1)机动目录上页下页返回结束解答:(2)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(3)数量关系

—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法

—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数第一节一、向量的概念二、向量的线性运算机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算

第八章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,记作e

或e.或a.规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法

是一个数,规定:可见

与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与

a

同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束“”则例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动目录上页下页返回结束第二节点的坐标和向量的坐标二、利用坐标作向量的线性运算三、向量的模、方向角、投影一、空间直角坐标系ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束二、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动目录上页下页返回结束例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束三、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称

=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束例8.设点A

位于第一卦限,解:已知角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束3.向量在轴上的投影则

a

在轴u

上的投影为例如,在坐标轴上的投影分别为设a

与u

轴正向的夹角为

,,即投影的性质2)(

为实数)1)例9.设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM

方向上的投影.解:

如图所示,记∠MOA=

,备用题解:

因1.

设求向量在x

轴上的投影及在y轴上的分向量.在y

轴上的分向量为故在x

轴上的投影为机动目录上页下页返回结束2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为

对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束

三、向量的混合积第三节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束向量的乘法运算

第八章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为机动目录上页下页返回结束记作故2.性质为两个非零向量,则有

机动目录上页下页返回结束3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

已知三点

AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,

称引例中的力矩思考:

右图三角形面积S＝机动目录上页下页返回结束2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束4.向量积的坐标表示式设则机动目录上页下页返回结束向量积的行列式计算法机动目录上页下页返回结束例4.已知三点角形

ABC

的面积解:

如图所示,求三机动目录上页下页返回结束一点M

的线速度例5.设刚体以等角速度

绕l

轴旋转,导出刚体上的表示式.解:

在轴l

上引进一个角速度向量使其在l

上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为

,

方向与旋转方向符合右手法则,向径机动目录上页下页返回结束

三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积

.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动目录上页下页返回结束2.混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:

已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束例7.

证明四点共面.解:

因故A,B,C,D

四点共面.机动目录上页下页返回结束内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:2.向量关系:机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束证:由三角形面积公式所以因机动目录上页下页返回结束备用题1.已知向量的夹角且解：机动目录上页下页返回结束在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：三角形ABC的面积为

2.而故有机动目录上页下页返回结束第四节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动目录上页下页返回结束平面

第八章①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面

的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束例1.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面

的方程机动目录上页下页返回结束此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.机动目录上页下页返回结束例2.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动目录上页下页返回结束三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束特别有下列结论：机动目录上页下页返回结束因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动目录上页下页返回结束例6.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动目录上页下页返回结束内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束备用题求过点且垂直于二平面和的平面方程.解:

已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得机动目录上页下页返回结束第五节一、空间直线方程二、线面间的位置关系机动目录上页下页返回结束空间直线

第八章一、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)机动目录上页下页返回结束2.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量机动目录上页下页返回结束3.参数式方程设得参数式方程:机动目录上页下页返回结束例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.机动目录上页下页返回结束故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动目录上页下页返回结束二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动目录上页下页返回结束特别有:机动目录上页下页返回结束例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角

的余弦为从而的方向向量为的方向向量为机动目录上页下页返回结束当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;

2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿机动目录上页下页返回结束特别有:解:

取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面机动目录上页下页返回结束3.过直线的平面束过直线的平面束方程机动目录上页下页返回结束例4.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

机动目录上页下页返回结束直线2.线与线的关系直线夹角公式:机动目录上页下页返回结束平面

:L⊥

L//

夹角公式：3.线与面间的关系直线L:机动目录上页下页返回结束解：相交,求此直线方程

.的方向向量为过A

点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1

利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线备用题机动目录上页下页返回结束设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2

利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有机动目录上页下页返回结束代入上式,得由点法式得所求直线方程而机动目录上页下页返回结束四、二次曲面第六节一、曲面方程的概念三、旋转曲面

二、柱面机动目录上页下页返回结束空间曲面

第八章定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状机动目录上页下页返回结束一、曲面方程的概念故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束二、柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义2.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.

z

轴的平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上的曲线l1.母线准线

yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束定义3.一条平面曲线三、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？机动目录上页下页返回结束例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕

z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①机动目录上页下页返回结束内容小结1.

空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束

第八章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第七节机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C机动目录上页下页返回结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动目录上页下页返回结束二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距

.机动目录上页下页返回结束例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为机动目录上页下页返回结束例2.求空间曲线

:绕z轴旋转时的旋转曲面方程.解:点M1绕z轴旋转,转过角度

后到点则机动目录上页下页返回结束这就是旋转曲面满足的参数方程.例如,

直线绕z轴旋转所得旋转曲面方程为消去t

和

,得旋转曲面方程为机动目录上页下页返回结束绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为又如,

xoz

面上的半圆周说明:

一般曲面的参数方程含两个参数,形如机动目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束例如,在xoy面上的投影曲线方程为机动目录上页下页返回结束又如,所围的立体在xoy

面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.机动目录上页下页返回结束(2)(1)机动目录上页下页返回结束举例(3)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束思考:交线情况如何?交线情况如何?机动目录上页下页返回结束备用题求曲线绕z

轴旋转的曲面的交线在

xOy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xOy

面的投影柱面方程为此曲线在xOy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的与平面

第九章习题课机动目录上页下页返回结束一、基本概念

二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法一、基本概念连续性

偏导数存在

方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束1.

讨论二重极限解法1解法2

令解法3

令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令机动目录上页下页返回结束此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3

令机动目录上页下页返回结束此法忽略了

的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,

的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:机动目录上页下页返回结束而所以f

在点(0,0)不可微!机动目录上页下页返回结束例1.

已知求出的表达式.解法1

令即解法2

以下与解法1相同.则且机动目录上页下页返回结束二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动目录上页下页返回结束例2.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,

求(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2方程两边求微分,得化简消去即可得机动目录上页下页返回结束例3.设有二阶连续偏导数,且求解:机动目录上页下页返回结束练习题1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数机动目录上页下页返回结束2.设求解答提示:第1题机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束题2设求提示:机动目录上页下页返回结束①②利用行列式解出du,dv

：机动目录上页下页返回结束代入①即得代入②即得有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:(2001考研）机动目录上页下页返回结束3.设三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)

求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)

2.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件

求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)

求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用

最小二乘法机动目录上页下页返回结束例4.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:

设切点为则切平面的法向量为即切平面方程机动目录上页下页返回结束问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数机动目录上页下页返回结束切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.机动目录上页下页返回结束唯一驻点例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P

的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数机动目录上页下页返回结束到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故机动目录上页下页返回结束上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：1.

在曲面并写出该法线方程.提示:

设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上机动目录上页下页返回结束2.

在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示:

设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积V最小等价于

f(x,y,z)=xyz

最大,故取拉格朗日函数例4目录上页下页返回结束(见例4)3.

设均可微,且在约束条件

(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是f(x,y)下列选项正确的是()提示:

设(

)代入(

)得D(2006考研)推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用

第九章第一节一、区域二、多元函数的概念机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.P(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E

中的点,则点P

属于E

，但不是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于EE

的边界点)(3)

孤立点称P

是E

的聚点.(因为聚点可以为D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;机动目录上页下页返回结束。

。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;例如，在平面上开区域闭区域

机动目录上页下页返回结束

整个平面

点集是开集，

是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o

对区域D,若存在正数

K,使一切点P

D与某定点A的距离AP

K,则称

D

为有界域

,

界域

.否则称为无3.n

维空间n元有序数组的全体称为n

维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k

个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点

a

的

邻域为机动目录上页下页返回结束规定为与零元O

的距离为二、多元函数的概念引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数,记作机动目录上页下页返回结束例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球

第九章第二节一、多元函数的极限二、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的极限及连续性一、多元函数的极限定义2.

设n

元函数点,则称A

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,切例1.

设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证例2.

设求证：证：故总有要证机动目录上页下页返回结束

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数机动目录上页下页返回结束例4.

求解:因而此函数定义域不包括x,y

轴则故机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束二、多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,极限值＝函数值例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.

故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则机动目录上页下页返回结束*(4)f(P)必在D上一致连续.在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解:原式例5.求例6.

求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束备用题1.设求解法1令机动目录上页下页返回结束1.设求解法2令即机动目录上页下页返回结束2.是否存在？解：所以极限不存在.机动目录上页下页返回结束3.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束第三节(1)机动目录上页下页返回结束偏导数概念及其计算偏导数

第九章定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内有则称此极限为函数定义，如果极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:偏导数定义及其计算法同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为机动目录上页下页返回结束或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)的斜率.在点

处的切线是曲线对

轴的斜率.是曲线对

轴在点

处的切线二元函数偏导数的几何意义:机动目录上页下页返回结束函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!由偏导数得定义容易看出，要求多元函数关于某一变量得偏导数，只需将其余变量看作常数，对该变量用一元函数求偏导得方法即可！机动目录上页下页返回结束例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束先求后代先代后求例2.

设证:求证机动目录上页下页返回结束例3.

求的偏导数.解:机动目录上页下页返回结束偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:(R为常数),不能看作分子与分母的商!说明：此例表明机动目录上页下页返回结束整体记号,内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义机动目录上页下页返回结束备用题

设方程确定u

是x,y

的函数,连续,且求解:机动目录上页下页返回结束

第九章

二、全微分在近似计算中的应用应用第三节(2)一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:

由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有

三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动目录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束可知当*二、全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例4.计算的近似值.

解:设,则取则机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算机动目录上页下页返回结束思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题机动目录上页下页返回结束2.

设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束注意:x,y,z

具有轮换对称性

答案:

3.

已知第四节目录上页下页返回结束在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连机动目录上页下页返回结束

证明函数所以同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目目录上页下页返回结束4)下面证明可微:说明:

此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目目录上页下页返回结束第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则

第九章一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.解:机动目录上页下页返回结束例3.设

求全导数解:机动目录上页下页返回结束注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例4.设

f

具有一阶连续偏导数,求解:令则(当在二、三象限时,)例5.设一阶偏导数连续,求下列表达式在解:

已知极坐标系下的形式,则二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束例1.例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动目录上页下页返回结束内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束备用题1.已知求解:由两边对

x

求导,得机动目录