数列的概念经典试题(含答案)

一、数列的概念选择题1．已知数列{an}满足若a1=,则a2019=(

)A． B． C． D．2．已知数列满足，，且，则数列的前项和为（）A． B． C． D．3．设数列的前项和为已知且，若，则的最大值为（）A．49 B．50 C．51 D．524．已知数列的前项和为，且，则的通项公式是（）A． B． C． D．5．已知数列，则是这个数列的（）A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项6．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．数列中，，，则（）A．511 B．513 C．1025 D．10248．数列的前项和记为，，，，则（）A．2016 B．2017 C．2018 D．20199．已知数列满足:，，设数列的前项和为，则（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．101010．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足那么=（）A． B． C． D．12．已知数列的前n项和为，若，则（）A． B． C． D．13．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．14．数列满足，则的值为（）A． B． C． D．15．已知数列满足，且，则的前2021项之积为（）A． B． C． D．16．数列，…的通项公式可能是（）A． B． C． D．17．正整数的排列规则如图所示，其中排在第行第列的数记为，例如，则等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202218．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．019．数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数的前项和为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．20．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A． B．是偶数 C． D．…22．已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．23．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（）A．－4 B．－2 C．0 D．224．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为（）A． B． C．1 D．225．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A． B． C．当或时，取得最大值 D．26．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．当且仅当时，取得最大值27．记为等差数列的前n项和.已知，则（）A． B． C． D．28．等差数列的前n项和记为，若，，则（）A． B．C． D．当且仅当时，29．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列30．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，31．设等差数列的前项和为，若，，则（）A． B． C． D．32．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（）A．若，则；B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若，则33．在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（）A．（，为常数，）； B．（为常数，）；C．； D．的前项和（）.34．公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A． B． C．中最大 D．35．已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.A． B．最小 C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．B解析：B【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则＝＝，故选B．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．2．B解析：B【分析】将题干中的等式化简变形得，利用累乘法可求得数列的通项公式，由此计算出，进而可得出数列的前项和.【详解】，将此等式变形得，由累乘法得，，，，因此，数列的前项和为.故选：B.【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A【分析】对分奇偶性分别讨论，当为偶数时，可得，发现不存在这样的偶数能满足此式，当为奇数时，可得，再结合可讨论出的最大值.【详解】当为偶数时，，因为，所以不可能为偶数；当为奇数时，因为，，又因为，，所以所以当时，的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.4．B解析：B【分析】根据计算可得；【详解】解：因为①，当时，，即当时，②，①减②得，所以故选：B【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.5．B解析：B【分析】根据题中所给的通项公式，令，求得n=11，得到结果.【详解】令，解得n=11，故是这个数列的第11项.故选：B.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.6．D解析：D【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为对任意的都有，则数列单调递增；又，所以只需，即，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.7．B解析：B【分析】根据递推公式构造等比数列，求解出的通项公式即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以且，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足的数列的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.8．A解析：A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列是周期为6的数列，且，进而可得，计算即可得答案．【详解】解：因为，，，则，，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为6，因为，所以．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．9．D解析：D【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.【详解】由题意，数列满足:，，可得，可得数列是以3为周期的数列，且所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．A解析：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选：A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.11．A解析：A【分析】根据数列的递推关系式即可求解.【详解】由则.故选：A12．A解析：A【分析】令得，令得可解得.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：A13．B解析：B【分析】由转化为，利用叠加法，求得，即可求解.【详解】由，可得，所以，所以.故选：B.【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；3、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.14．C解析：C【分析】根据条件依次算出、、、即可.【详解】因为，所以，，，故选：C15．B解析：B【分析】由，且，可得：，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为，且，所以，，，，，，..则的前2021项之积.故选：B【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.16．D解析：D【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式.【详解】因为数列可写成，所以其通项公式为.故选：D.17．C解析：C【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果.【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时，第2行第1列的数为2，此时，第3行第1列的数为4,此时，据此分析可得:第64行第1列的数为，则，故选：C.18．A解析：A【分析】根据条件得出数列的周期即可.【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故选：A19．B解析：B【分析】利用迭代法可得，可得，代入即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则，所以，令，可得，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出，利用迭代法得出，进而得出.20．C解析：C【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式．故选C．【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．二、多选题21．AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加得，所以，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，解析：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC23．AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立解析：AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.24．ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，当n为奇数时有：恒成立，由递减解析：ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，当n为奇数时有：恒成立，由递减，且，所以，即，当n为偶数时有：恒成立，由第增，且，所以，综上可得：，故选：ABC.【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.25．ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.26．AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的解析：AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题.等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况：（1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；（2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；27．AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.解析：AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.28．AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.29．BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，则，由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，则对任意的恒成立，则，得，此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.30．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A正确；选项不正确；，所以，故选项C不正确；当时，，即，故选项D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n项和，属于基础题.31．AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．32．BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15.故B正确；C选项，若，，则，，则中最大.故C正确；D选项，若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.故选：BC.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.