2019-2020学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算课时作业2向量的加法运算新人教A版必修第二册

PAGE1-课时作业2向量的加法运算知识点一向量的加法及几何意义1.下列命题中，真命题的个数为()①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3答案B解析①错误，若a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的；②正确；③错误，当A，B，C三点共线时，也满足eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.2．下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②eq\o(AB,\s\up15(→))＝Ceq\o(D,\s\up15(→))的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．0答案B解析∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确；当eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(CD,\s\up15(→))时，应有|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；③显然正确．3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同答案B解析向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错误．4．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．答案20,4解析当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20，所以最大值为20，最小值为4.5．如图，已知向量a，b.(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；(2)用三角形法则作出向量a＋b.解(1)如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b.(2)如图，在平面内任取一点O′，作eq\o(O′D,\s\up15(→))＝a，eq\o(DE,\s\up15(→))＝b，连接O′E，则eq\o(O′E,\s\up15(→))＝a＋b.知识点二向量加法的运算律6.已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))；②(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))；③eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(CO,\s\up15(→))；④eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)).其中结果为0的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析由向量加法的运算法则知①④的结果为0，故选B.知识点三向量加法的应用7.如下图，在正六边形OABCDE中，若eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OE,\s\up15(→))＝b，试用向量a，b将eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，Oeq\o(D,\s\up15(→))表示出来．解由题意，知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形．由向量的平行四边形法则，知eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))＝a＋b.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OP,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋b.在△AOB中，根据向量的三角形法则，知eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋a＋b＝2a＋b，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝2a＋b＋b＝2a＋2b.eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(ED,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.一、选择题1．已知非零向量a，b，c，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.2．向量(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋Oeq\o(M,\s\up15(→))化简后等于()A.eq\o(CB,\s\up15(→)) B.eq\o(AB,\s\up15(→))C.eq\o(AC,\s\up15(→)) D.eq\o(AM,\s\up15(→))答案C解析(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋(eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up15(→)).故选C.3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up15(→)) B.eq\o(OG,\s\up15(→))C.eq\o(FO,\s\up15(→)) D.eq\o(EO,\s\up15(→))答案C解析设a＝eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))，利用平行四边形法则作出向量eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(OQ,\s\up15(→))，再平移即发现a＝eq\o(FO,\s\up15(→)).4．设|a|＝1，|b|＝1，且p＝a＋b，则|p|的取值范围为()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,3]答案B解析因为a，b是单位向量，因此当两个向量同向时，|p|取最大值2，当两个向量反向时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.5．在▱ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定答案B解析|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|，|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))|＝|eq\o(BD,\s\up15(→))|，由|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|知，四边形ABCD为矩形．二、填空题6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2，则|eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析如图所示，设菱形对角线交点为O.eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up15(→))|2－|\o(OB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(3)，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝2eq\r(3).7．如图所示，若P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，则∠ACB＝________.答案120°解析因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，由向量的加法运算可得，四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.8．设a表示“向东走了2km”，b表示“向南走了2km”，c表示“向西走了2km”，d表示“向北走了2km”，则(1)a＋b＋c表示向________走了________km；(2)b＋c＋d表示向________走了________km；(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案(1)南2(2)西2(3)2eq\r(2)东南解析(1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2km.(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2km.(3)如图①所示，|a＋b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，a＋b的方向是东南．三、解答题9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|与|eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|.解∵eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(CO,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→)).∴四边形ABCD是平行四边形．又|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，知四边形ABCD为菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．∴|eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up15(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))|＝|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝1.10．已知在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)).证明如图，在平面内取点O，连接AO，EO，DO，CO，FO，BO.eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EO,\s\up15(→))＋eq\o(OF,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＋eq\o(FC,\s\up15(→)).因为E，F分别是