人教版九年级数学下册《反比例函数（第4课时）》示范教学课件

反比例函数（第4课时）人教版九年级数学下册

1．一次函数的图象是什么？

一次函数

y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线

y＝kx＋b．

直线

y＝kx＋b可以由直线

y＝kx通过平移得到．

2．一次函数有什么性质？一次函数

y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：当

k＞0时，y随

x

的增大而增大；当

k＜0时，y随

x

的增大而减小．（1）当k＞0

时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而减小；（2）当k＜0

时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而增大．

3．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（2）的图象是中心对称图形，对称中心是原点．（1）的图象是轴对称图形，对称轴是y＝±x．也就是说，若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(－a，－b)也在此函数图象上．

4．反比例函数的图象的对称性：类型一、反比例函数与一次函数的图象共存问题

1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k

与反比例函数

(k≠0)的图象大致是（）．

A

B

CD

A类型一、反比例函数与一次函数的图象共存问题选项C，D

中，由反比例函数

(k≠0)的图象可知k＞0，

解析：选项A，B

中，由反比例函数

(k≠0)的图象可知k＜0，

则一次函数y＝kx－k

的图象应该经过第一、第二、第四象限，

故选项A

正确，选项B

错误．

则一次函数y＝kx－k

的图象应该经过第一、第三、第四象限，

故选项C

错误，选项D

错误．

故选A．解决反比例函数图象与一次函数图象共存问题的方法

一般情况下，判断同一坐标系内的两个函数中各字母的符号，相同字母的符号一致的选项可能为正确答案．

若题干中给出了一个函数的图象，则需要先根据这个图象判断各字母的符号，再依据字母的符号去验证各选项中的图象是否正确．归纳

2．反比例函数

的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b

的图象可能是（）．

A

B

CD类型一、反比例函数与一次函数的图象共存问题

D类型一、反比例函数与一次函数的图象共存问题

解析：由图象可知，反比例函数的图象过第一、第三象限，∴kb＞0．

∴k＞0，b＞0

或k＜0，b＜0．

当k＞0，b＞0

时，一次函数y＝kx＋b

的图象过第一、第二、第三象限；

当k＜0，b＜0

时，一次函数y＝kx＋b

的图象过第二、第三、第四象限．

故选D．

3．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b

和反比例函数

的图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题

∴反比例函数的解析式为

．

解：（1）∵点B(2，－4)在反比例函数

的图象上，

∴

m＝－8．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题

∵点A(－4，n)在反比例函数

的图象上，∴

n＝2．

∴

A(－4，2)．

∵一次函数y＝kx＋b

的图象经过A(－4，2)，B(2，－4)，

∴

解得

∴一次函数的解析式为y＝－x－2．

（2）观察图象，直接写出方程kx＋b－

＝0

的解．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题

解：（2）∵

A(－4，2)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b

的图象和反比例函数

的图象的两个交点，

∴方程kx＋b－

＝0

的解是x1＝－4，x2＝2．

（3）求△AOB

的面积．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题

∴

S△AOB＝S△ACO＋S△BCO

＝

×2×2＋

×2×4＝6．

解：（3）如图，设AB

与x

轴交于点C．令

y＝－x－2＝0

，解得x＝－2，

∴点C(－2，0)．

∴

OC＝2．C

（4）观察图象，直接写出不等式kx＋b－

＜0

的解集．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题C解：（4）不等式kx＋b－

＜0

的解集为－4＜x＜0

或x＞2．

借函数图象的交点进行求解的常见问题类型

（1）求解析式：见点代入．双曲线需要一个条件，直线需要两个条件．归纳

（2）求方程的解：对于由一个函数减去另一个函数等于0构成的方程，这两个函数图象的交点的横坐标即为方程的解．

（3）面积问题：

底在坐标轴上的三角形面积＝

×底×高，

底不在坐标轴上的三角形面积＝

×铅直高×水平宽，也可转化为等底或等高的三角形面积再求解．归纳

（4）求取值范围：一般用数形结合思想，借助图形解决．具体解题步骤如下．

①求界点．

②看要求：看清要求，已知自变量还是因变量的范围，求哪个变量的范围．

③做标记：过界点分别向x

轴或y

轴作垂线．

④定范围：确定范围，用不等式（组）正确表示．归纳

4．如图，一次函数y＝kx＋b

与反比例函数

的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y

轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．

（1）求一次函数y＝kx＋b

和

的解析式．

解：（1）∵点A(4，3)，OA＝OB，

∴B(0，－5)．∵

y＝kx＋b

过点A，B，

过点A，

解得k＝2，b＝－5，a＝12．

∴函数解析式分别为y＝2x－5

和

．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题xOyBAC

（2）求S△AOB．

解：（2）以OB

为底，A

的横坐标的绝对值为高，

S△AOB＝

＝10．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题xOyBAC

解：（3）∵S△ABD＝

CD·(yA－yB)＝10，

∴CD＝

．

将y＝0

代入y＝2x－5，得x＝

，

∴C

．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题xOyBAC

（3）若直线AB

交x

轴于点

C，D

为x

轴上另一点，当S△ABD＝10

时，求直线AD

的解析式．

当点D

在点C

右侧时，D1(5，0)，

∴直线AD

的解析式为y＝－3x＋15；

当点D

在点C

左侧时，D2(0，0)，

∴直线AD

的解析式为y＝

．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题xOyBAD1C(D2)

（4）在（3）的条件下，当点D

在点C

右侧时，求直线AD

与反比例函数

的另一交点E．

解：（4）当点D

在点C

右侧时，

联立方程组

解得x1＝1，x2＝4（舍），∴y＝12．

∴E(1，12)．

∴当点D

在点C

右侧时，E(1，12)．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题xOyBAD1C(D2)

（5）在（4）的条件下，观察图象，直接写出不等式

－3x＋15＜

的解集．类型二、反比例函数与一次函数的图象的交点问题

∴不等式－3x＋15＜

的解集为0＜x＜1

或x＞4．

解：（5）如图，∵A(4，3)，E(1，12)，xOyBAD1C(D2)E

5．如图，直线y＝2x＋3

与y

轴交于点A，与反比例函数

(k＞0)的图象交于点B，过点B

作BC⊥x

轴于点C，且点C

的坐标为(1，0)．

（1）求反比例函数的解析式．

解：（1）∵BC⊥x

轴于点C，且点C

的坐标为(1，0)，

在直线y＝2x＋3

中，当x＝1

时，y＝2＋3＝5，类型三、反比例函数与一次函数中的存在性问题

∴点B

的坐标为(1，5)．

又∵点B(1，5)在反比例函数

的图象上，

∴k＝1×5＝5．

∴反比例函数的解析式为

．类型三、反比例函数与一次函数中的存在性问题

（2）点D(a，1)是反比例函数

(k＞0)的图象上的点，在x

轴上是否存在点P，使得PB＋PD

最小？若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、反比例函数与一次函数中的存在性问题

解：（2）将点D(a，1)代入

，得a＝5，

∴点D

的坐标为(5，1)．

点D(5，1)关于x

轴的对称点为

D′(5，－1)，

可设过点B(1，5)、点D′(5，－1)的直线的解析式为y＝mx＋b，类型三、反比例函数与一次函