2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第1章 特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第1章特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.一、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．三、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.题型一菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角巩固训练：下列性质中，菱形不一定具备的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对边平行2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④3．下列四个命题中，假命题是（

）A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形4．已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（

）A．B．C． D．题型二根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题【例2】矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（）

A． B． C． D．巩固训练：1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是；2．矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为（）A．4 B． C．3 D．53．如图，菱形的对角线与交于点O，，，则．4．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A．13 B．12 C．6 D．35．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（）A． B． C． D．6．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是．7．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为（

）

A． B． C． D．8．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，连接，则的周长为（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形中，点、分别是边、上的两个动点不与顶点、、重合，在运动中始终保持，与交于点，当时，的度数为(

)

A． B． C． D．题型三菱形、矩形、正方形的性质与判定【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为()A．6 B．9 C．12 D．15巩固训练：如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为．

2．如图，两张宽均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，则四边形的周长为cm．3．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为．

4．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为．5．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为．6．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为．7．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（）A． B． C． D．8．如图，在中，点是边上的一个动点（点不与、两点重合），过点作直线，直线与的平分线相交于点，与（的外角）的平分线相交于点．(1)与相等吗？为什么？(2)探究：当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．(3)在（2）中当等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）题型四特殊平行四边形的解答证明题【例4】．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．巩固训练：1．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．4．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：；（2）求证：；题型五特殊平行四边形与坐标系【例5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（

）A．（3，4） B．（4，3） C．（2，3） D．（2，4）巩固训练：1．如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则（用含的代数式表示）．2．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（

）

A．当时， B．当时，C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为3．如图，菱形ABDC的顶点A(1，1)，B(3，1)，∠BAC=60°，规定把菱形ABDC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为1次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C对应的坐标为．4．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(

)

A． B． C． D．6．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（

）．

A．y=2x+11 B．y=-2x+12C． D．7．如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是．题型六特殊平行四边形与方程【例6】．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．巩固训练：1．如图，已知中，，，将沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是．题型七最值、动点问题【例7】．如图，在中，为边上一动点，于于，则的最小值为（

）

A． B． C． D．巩固训练：1．如图，矩形的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（

）

A．1 B． C． D．32．如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为

3．如图，在中，，P为边上一动点（P不与B、C重合），于E，于F，M为中点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．题型八特殊平行四边形动态问题【例8】．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点D为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，将△EDB沿DE翻折，得到△DEP，连接PC，PB，PA，若DP经过AC的中点F，且PC＝2，则△AFP的面积是．巩固训练：1．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好