2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第07讲 平行四边形的性质（解析版）

第07讲平行四边形的性质1．平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是性质，又是判定．（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．平行四边形的基本元素：边、角、对角线．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分．【归纳】（1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；（3）利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．3．两条平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处相等；（2）夹在两条平行线间的平行线段相等．平行四边形对边平行且相等.几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC.2、平行四边形对角相等、邻角互补.几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°.3、平行四边形对角线互相平分.几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=QUOTE1212AC,BO=OD=QUOTE1212BD.考点剖析考点一、平行四边形边的性质【例1】如图，在平行四边形中，是的平分线，F是的中点，，，则为（

）

A．4∶1∶2 B．4∶1∶3 C．3∶1∶2 D．5∶1∶2【答案】A【解析】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴,∴，∵F是的中点，∴，∴，，∴，故选A．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，

∵四边形是平行四边形，∴，，，，，，，．故选A．考点二、平行四边形角的性质【例2】如图，在平行四边形中，，，于E，则度．

【答案】【解析】解：∵，，，，，，，，故答案为：20．【变式2】如图，在平行四边形中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，故选B．考点三、平行四边形对角线的性质【例3】如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为.

【答案】12【解析】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故答案为：．【变式3】已知的周长是，、相交于点，的周长比的周长大，那么．【答案】【解析】解：如图：

四边形是平行四边形，，，，的周长比的周长大，，，，的周长是，，即,，故答案为：．考点四、两平行线之间的距离【例4】在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，则的面积是．【答案】5【解析】解：如图，过作于，过作于，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴，故答案为：5．【变式4】如图，若A，D在直线m上，B，E在直线n上，四边形是平行四边形，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为．【答案】4【解析】解：∵四边形是平行四边形，，m∥n.，，设直线与之间的距离为，的面积为6，，解得，故答案为：4．考点五、平行四边的性质的有关计算与证明【例5】如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠F，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC（AAS），

∴AB=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵AB=CF，DF=DC+CF，∴DF=2CF，∴DF=2AB，∵AD=2AB，∴AD=DF，∵△AEB≌△FEC，∴AE=EF，∴ED⊥AF．【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF=，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．考点六、平行四边形边的性质综合应用【例6】如图，中，把沿翻折得到，相交于点．(1)求证：；(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，∵把沿翻折得到，，，在和中，，，，，又，，；（2）解：，是等腰三角形，∵四边形是平行四边形，，，∵把沿翻折得到，，，在和中，，，，是等腰三角形．故图中所有等腰三角形有：，.【变式6】问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F，请直接写出的长．（1）探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，的长为．②当点E与点C重合时，的长为．（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．【解析】解：问题：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得，∴；探究：（1）①如图1所示：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∵点E与点F重合，∴；故答案为：12；②如图2所示：∵点E与点C重合，∴，∵，∴点F与点D重合，∴；故答案为：6；（2）分三种情况①如图3所示：同（1）得：，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴，∴；②如图4所示：同（1）得：，∵，∴；③如图5所示：同（1）得：，∵，∴；综上所述，的值为2或或．过关检测一、单选题1．在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：设中的较小的内角的度数为，则较大的内角为，∵平行四边形的对角相等，∴，解得：，∴，即：中较大内角的度数是；故选A．2．如图，在中，已知，若的周长是15，则的周长是(

)

A．26 B．24 C．20 D．18【答案】C【解析】解：∵的周长是15，，∴，又∵四边形是平行四边形，∴，∴的周长是，故选C．3．在中，对角线、交于点O，若，，，则的周长为（）A．13 B．16 C．18 D．21【答案】A【解析】解：∵的两条对角线交于点O，，，，∴，，，∴的周长为：．故选A．4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，平行四边形的面积为，，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：四边形是平行四边形，，，平行四边形的面积为48，，，故选B．5．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵平分，∴，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正确；∴，∴，∴，故②错误；∵，∴E为中点，∴，故③错误；∵，，∴，故④正确；故正确的个数为个，故选B．6．已知平行四边形，点E为边上任意一点，连接并延长，与的延长线相交于点H，连接，，要算出的面积，则只需知道（

）的面积．

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：连接，如图，

∵四边形为平行四边形，∴，，∴与的边上的高相等，与的边上的高相等，∴，，∴，即，∴，∴要算出的面积，则只需知道的面积．故选C．二、填空题7．如图，中，平分，若，，则的周长为．

【答案】【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴的周长为，故答案为：．8．如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段的长度．（填图中已有线段）

【答案】/【解析】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵，∴直线与间的距离是线段的长度，故答案为：.9．如图，在平面直角坐标系中，若平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则点D的坐标是．

【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，，，的顶点、、的坐标分别是，，，轴，，顶点的坐标为．故答案为：．10．如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过点作交于点．若的周长为，则平行四边形的周长为．

【答案】【解析】解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点，∴点是线段的中点，∵，∴线段是线段的垂直平分线，∴，∵的周长为，即，∴，∴平行四边形的周长为，故答案为：．三、解答题11．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：．【解析】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵在和中，，∴，∴．12．如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：．【解析】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴．∴，∴．13．如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．【解析】（1）如图1，四边形即为所求；（2）如图2，即为所求，∵，，．14．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求的长．【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形．∴，，．∴，．∵是的平分线，是的平分线．∴，．∴，．∴，．∴．∴．∴．（2）过点A作，垂足为H，如图：由（1）知，且，，∴，．∵，∴，∴，结合平方性质可得．∴．∵．∴．∴．∴．15．如图，在中，过点A作交直线于点F，且，平分交于点E，交于点G，过点A作交直线于点H.

(1)求证：；(2)若，，求线段的长；(3)下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解.①当点F与点C重合时，求证：；②