2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题08邻补角、对顶角、垂线（11个考点+10种题型）（原卷版）

专题08邻补角、对顶角、垂线（11个考点+10种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：平面上两条不重合直线的位置关系考点二：邻补角的意义考点三：邻补角的性质考点四：对顶角的意义考点五：对顶角的性质考点六：垂线的意义考点七：垂直的符号考点八：垂直公理考点九：中垂线考点十：垂线段的性质考点十一：点到直线的距离题型一：邻补角的定义理解题型二：找邻补角题型三：利用邻补角互补求角度题型四：对顶角的定义题型五：对顶角相等题型六：相交线题型七：垂线的定义理解题型八：画垂线题型九：垂线段最短题型十：点到直线的距离考点一：平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点； 平行：两条直线没有交点．考点二：邻补角的意义 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．考点三：邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．考点四：对顶角的意义 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．考点五：对顶角的性质 对顶角相等．考点六：垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．考点七：垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．考点八：垂直公理 在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直考点九：中垂线 过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．考点十：垂线段的性质 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．考点十一：点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线的距离为零．题型一：邻补角的定义理解【例1】．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1】．（2023下·江西新余·七年级新余四中校考期中）如图，直线，，相交于点，则的邻补角有个．

【变式2】．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）与互为邻补角，且比的3倍还多，则的度数是°．题型二：找邻补角【例2】．（2021上·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，图中邻补角有几对（

）

A．4对 B．5对 C．6对 D．8对【变式1】．（2022上·福建福州·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【变式2】．（2022下·山东德州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角是（

）A． B． C．和 D．和题型三：利用邻补角互补求角度【例3】．（2023下·上海·七年级阶段练习）如图所示，直线、相交于，，则直线与直线所夹的锐角是．【变式1】．（2023下·上海松江·七年级统考期中）已知，与互为邻补角，且，那么为度【变式2】．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．【变式3】．（2023下·上海嘉定·七年级校考期中）如图，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度数是多少？（完成以下说理过程）解：因为（________），（已知），所以∠BAE＝________（等式性质）．又因为AC平分∠BAE（已知），所以（_______），所以（等式性质）．题型四：对顶角的定义【例1】．（2022下·上海·七年级校联考期末）下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【变式1】．（2020下·七年级校考课时练习）下列说法中：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．不正确的有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【变式2】．（2021下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有对．题型五：对顶角相等【例5】．（2023下·七年级单元测试）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝度．【变式1】．（2023下·七年级单元测试）如果直线与直线交于点，且，，这两条直线的夹角是度．【变式2】．（2023下·七年级单元测试）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD=度．【变式3】．（2023下·上海·七年级专题练习）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整：题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性质）∵（

）∴__________________（等量代换）∵平分（已知）∴____________（角平分线的意义）∴（

）题型六：相交线【例6】．（2023上·山东聊城·七年级统考期中）平面上的三条直线最多可将平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【变式】．（2023下·上海·七年级专题练习）观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是(

)A．10 B．20 C．36 D．45题型七：垂线的定义理解【例7】．（2023下·七年级单元测试）如图，，垂足为，为过点的一条直线，若，则．【变式1】．（2023下·上海闵行·七年级统考期中）如图，，直线平分，则【变式2】．（2023下·上海徐汇·七年级统考期末）如图，直线与直线相交于点，，，那么的度数是度．【变式3】．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．

题型八：画垂线【例8】．（2023下·七年级单元测试）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（

）A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对C．两人都对 D．两人都不对【变式】．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹）如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．

题型九：垂线段最短【例9】．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【变式1】．（2023下·七年级单元测试）如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是．【变式2】．（2023下·七年级单元测试）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．【变式3】．（2023下·七年级单元测试）按照要求完成下列问题：如图，直线和相交于点，点为上一点．（1）过点作的垂线，交于点；（2）过点作的垂线，交于点；（3）比较线段和的大小：______．题型十：点到直线的距离【例10】（2023下·上海·七年级专题练习）下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是（）A． B． C． D．【变式1】．（2023下·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（

）

A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90°C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离【变式2】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）如图，点A到直线的距离是线段的长度，直线到直线的距离是线段的长度．

【变式3】．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知于，于，，，，，．则：(1)点到直线的距离为_________；(2)点到直线的距离为_________；(3)点到直线的距离为_________；(4)点到直线的距离为_________；(5)点到直线的距离为_________．【变式4】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）按下列要求画图并填空：如图，

(1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D；(2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______．一、单选题1．（2023下·七年级单元测试）如图，在三角形中，，，为垂足，则下列说法中，错误的是(

)A．点到的距离是线段的长 B．点到的距离是线段的长C．点到的距离是线段的长 D．点到的距离是线段的长2．（2023下·上海·七年级假期作业）如图，，点D到线段的距离指的是下列哪条线段的长度（

）

A． B． C． D．3．（2023下·七年级单元测试）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（

）．A．100° B．115° C．135° D．145°4．（2023下·七年级单元测试）下列说法正确的是（

）A．相等的角是对顶角； B．邻补角一定互补；C．互补的两角一定是邻补角； D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等；5．（2023下·七年级单元测试）如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（

）A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④6．（2023下·上海·七年级专题练习）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有(

)A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于点O，∠COE=50°，那么∠BOD=．8．（2023下·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，直线的夹角的度数是

9．（2023下·上海黄浦·七年级统考期中）若与是对顶角，与互余，且，那么．10．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）直线和相交于点，，那么这两条直线的夹角是度11．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段的长度．12．（2023下·七年级单元测试）若与是对顶角，与互余，且，那么．13．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，直线与直线交于点O，平分，已知∠，那么度．14．（2023下·七年级单元测试）若与是对顶角，与互余，且，那么．15．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝°．16．（2023下·上海松江·七年级统考期中）如图，已知直线、交于点，，，则．17．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，直线相交于点O．已知把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，若时，的度数是．18．（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则．三、解答题19．（2023下·上海·七年级专题练习）如图：直线AB和CD相交于点O，，且，求：的度数解：∵（已知）