工程流体力学第三章

第三章流体静力学概述流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。其中，绝对静止是指流体整体对于地球无相对运动；相对静止是指流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。无论流体处于绝对静止还是相对静止状态，两者都不显示黏性，即切向应力都等于零。因此，流体静力学中所得的结论无论对实际流体还是理想流体都是适用的。静止流体的应力特性3.1静止流体的应力特性3.1.1静止流体的压力与压强处于相对静止状态下的流体，由于本身的重力或其他外力的作用，在流体内部及流体与容器壁面之间存在着垂直于接触面的作用力，这种作用力称为流体的静压力，也就是我们前面所讲的表面力。静压力用符号P表示，单位为N。3.1静止流体的应力特性3.1.1静止流体的压力与压强静止的流体内，取通过某点的任意截面积△A，垂直作用于该面积上的静压力为△P，在此情况下，单位面积上所受的压力称为流体的静压强，简称压强。静压强以表示，其公式为：

（3-1）它反映了受压面△A上流体静压强的平均值。当面积△A无限缩小至点A时，比值

的极限定义为A点的流体静压强，该静压强以p表示，其公式为：

（3-2)3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性这一特性可由反证法给予证明：假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成α角，如图所示。那么静压强p可以分解成两个分力，即切向压强pt和法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第2章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，即流体要流动，这显然与我们假设的静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。①静压强的方向与受压面垂直，并与作用面的内法线方向相同。3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性为证明这个特性，在静止流体内部任一点M附近取一微小四面体，它的三个棱边分别作为x、y、z三个坐标轴，其三个棱边长度分别为dx、dy、dz，如图所示。三个垂直于x、y、z轴的面的面积分别为△Ax、△Ay、△Az，斜面面积为△An。因为四面体处于静止状态，所以，作用于四面体上的力是平衡的，这些力包括：表面力：△Px、△Py、△Pz、△Pn②作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性质量力：四面体的质量为

。假定单位质量力在各方向上分别为X、Y、Z，则质量力在各方向上的分量分别为：上述质量力和表面力在各坐标轴上的投影之和应分别等于零。即：

，

，

。②作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性以x方向为例，由

，有即式中，（n，x）为倾斜平面ABC（面积dAn）的内法线方向与x轴的夹角。又除上式，得②作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性令四面体向M点收缩，对上式取极限，则于是，

。同理，由

，

可知

，

，则

。②作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。3.1静止流体的应力特性3.1.2静止流体的应力特性上式说明，在静止流体中，任一点流体静压强的大小与作用面的方位无关，但流体中不同点上的流体静压强可以不等，因此，流体静压强是空间坐标的标量函数，即

（3-3）②作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。静止流体力的平衡3.2静止流体力的平衡3.2.1平衡流体受力分析在静止流体内，任取一点O'（x，y，z），该点的压强p＝p（x，y，z）。以O'点为中心作微元直角六面体，正交的三个边分别与三个坐标轴平行，长度分别为dx、dy和dz。微元直角六面体应在所有表面力和质量力的作用下处于平衡状态，如图所示。3.2静止流体力的平衡3.2.1平衡流体受力分析只有作用在abcd和a‘b’c‘d’面上的压力。设六面体中心点的压强为p＝p（x，y，z），则两个受压面中心点M、N的压强分别为其中，

为为压强沿x方向的变化率，称为压强梯度；

为由于x方向的位置变化而引起的压强差。微元直角六面体各面上压强均匀分布，并用面中心点上的压强代表该面上的平均压强。表面力3.2静止流体力的平衡3.2.1平衡流体受力分析作用于abcd和a'b'c'd'面上的总压力分别为表面力3.2静止流体力的平衡3.2.1平衡流体受力分析

质量力3.2静止流体力的平衡3.2.2力平衡当微元直角六面体处于平衡状态时，在x方向有化简整理可得同理，y、z方向可得3.2静止流体力的平衡3.2.2力平衡将三式联合，可得

（3-4）该方程被称为欧拉平衡微分方程，它表示了处于平衡状态的流体中单位质量表面力和质量力之间的关系。3.2静止流体力的平衡3.2.2力平衡现将式（3-4）依次乘以dx、dy、dz，并相加得到 (3-5)式中左边是平衡流体压强p（x，y，z）的全微分。即 (3-6)如果流体是不可以压缩的，流体的密度为常数，即ρ＝C。因此，式（3-6）可以表示为某一函数U（x，y，z）的全微分，即 (3-7)3.2静止流体力的平衡3.2.2力平衡而

因此 (3-8)满足式（3-8）的函数U（x，y，z）的全微分，即称为势函数。具有这样势函数的力称为有势的力。由此得出，流体只有在有势的质量力作用下才能平衡。重力、惯性力都是有势的质量力。3.2静止流体力的平衡3.2.3等压面压强相等的空间点构成的平面或曲面称为等压面。等压面上，dp=0。又，式（3-6）中ρ≠0，故 (3-9)式中，dx、dy、dz可设想为流体质点在等压面上任一微小位移ds在相应坐标轴上的投影。因此，式（3-9）表示，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所做的微功为0。而质量力和位移ds都不能为0，所以等压面和质量力必然正交，这是等压面的重要特征。由等压面这一特征，便可以根据质量力的方向来判断等压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向是铅垂向下，可以知道等压面是水平面。流体静压强的分布规律3.3流体静压强的分布规律概述实际工程中最常见的质量力是重力，因此，在流体平衡一般规律的基础上，研究重力作用下流体静压强的分布规律具有实用意义。3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式如图所示，设某密闭容器中的液体在重力作用下处于静止状态，液体的密度为ρ，自由液面上的压强为p0。对于液体中任一点的压强，由于质量力只有重力，故X=Y=0。Z=-g。将其代入式（3-6），得dp=-ρgdz将其代入式（3-6），得 (3-10)3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式式（3-10）即为重力作用下静止流体的压强分布关系，式中C为积分常数。把边界条件z=z0、p=p0代入式（3-10），得C=p0+ρgz0，再代回式（3-10），得 (3-11)3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式式（3-10）除以单位体积液体的重量ρg，得

故

（3-12）3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式式（3-11）、（3-12）以不同形式表示了重力作用下有自由液面的均质不可压缩静止流体的压强计算公式，它们都被称为流体静力学基本方程式。式（3-11）中，h为液面至计算点的液深，又称淹深。式（3-12）中，z为计算点的海拔高度。3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式对于仅在重力作用下的同一连续均质静止流体而言，通过分析该公式，可以得出以下三点结论：①

深度h相同的点压强相等，静压强的大小与液体的体积无直接关系。盛有相同液体的容器，尽管各容器的容积不同，液体的重量不同，但只要深度h相同，容器底面上各点的压强就相同。②

流体中任一点的压强随深度h按线性关系增加，如图所示。③

平衡状态下，液体内任意点压强的变化，等值地传递到其他各点。3.3流体静压强的分布规律3.3.1流体静压强的基本方程式【例3-1】如图所示，容器中有两层互不掺混的液体，密度分别为ρ1和ρ2。计算图中A、B两点的静压强。解：由式（3-11）得3.3流体静压强的分布规律3.3.2流体静压强基本方程式的意义z的物理意义是单位重量液体具有的，相对于基准面的重力势能，简称位能；

的物理意义是单位重量液体所具有的压强势能，简称压能；位能和压能之和称为总势能。流体静力学基本方程式的物理意义是：在重力作用下，静止的均质不可压缩流体中，各点单位质量流体的总势能保持不变。1.物理意义3.3流体静压强的分布规律3.3.2流体静压强基本方程式的意义

表明，在同一种流体相互连通的静止流体中，任意点上的

具有相同的数值。式中各项单位为m，即可以用液柱高度来表示，称为水头。z为某一点的位置相对于基准面的高度，称为位置水头；是该点在压强作用下沿侧压管所能上升的高度，称为压强水头；位置水头与压强水头之和称为静水头，又称为测压秘水头。各点的静水头连线为静水头线。流体静力学基本方程式的几何意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中，任意点的静水头线保持不变，其静水头线为水平线。2.几何意义压强的度量和测量3.4压强的度量和测量概述在工程上，度量流体压强的大小，可以采用绝对压强和相对压强等不同的计量基准，度量压强的单位有国际标准单位、液注高度和工程单位等多种。3.4压强的度量和测量3.4.1绝对压强和相对压强压强的大小可从不同的基准算起，由于起算基准的不同，压强可分为绝对压强和相对压强。以完全没有气体存在的绝对真空为零点算起的压强，称为绝对压强，以符号pabs表示。如果液面的绝对压强为p0，流体密度为ρ，则流体中深度为h的点的绝对压强为pabs=

p0+

ρgh。当问题涉及流体本身的性质时，如采用气体状态方程进行计算，必须采用绝对压强。3.4压强的度量和测量3.4.1绝对压强和相对压强以当地大气压pa为基准起算的压强，称为相对压强，以p表示。绝对压强和相对压强之间相差一个当地大气压，即p=pabs-pa，如图所示。某一点的绝对压强只能是正值，不可能出现负值，相对压强可能是正值也可能是负值。当相对压强为正值时，可用压力表测量，称为表压强（压力表读数）；当相对压强为负值时，称该压强为负压。负压强的绝对值称为真空度（真空表读数），以pv表示。

(3-13)3.4压强的度量和测量3.4.1绝对压强和相对压强【例3-2】一封闭水箱如图3-8所示。水面上的绝对压强P0=85kPa，求水面下h=1m处C点的绝对压强、相对压强和真空压强。已知当地大气压Pa=98kPa，ρ=1000kg/m3。C点的绝对压强pabs=p0+

ρgh=85+1×9.8×1=94.8(kPa)。C点的相对压强p=pabs-pa=94.8-98=-3.2(kPa)。相对压强为负值，说明C点存在真空。相对压强的绝对值即为真空压强，即pv=3.2kPa。3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位度量压强的常用到三种单位：标准单位、液柱单位及工程单位。1．标准单位压强的标准单位为帕斯卡，简称帕，符号为Pa，1Pa=1N/m2。另外，气体的压强常用kPa表示，液体的压强常用MPa表示。3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位度量压强的常用到三种单位：标准单位、液柱单位及工程单位。2．液柱单位测量和工程中还常用液柱高度作为度量压强的单位。常用的有水柱和汞柱，其单位为mH2O、mmH2O、mmHg。压强与液柱高度的关系为 (3-14)3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位度量压强的常用到三种单位：标准单位、液柱单位及工程单位。压强与液柱高度的关系为

（3-14）如1标准大气压可维持的水柱高1工程大气压可维持的水柱高

3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位度量压强的常用到三种单位：标准单位、液柱单位及工程单位。3．工程单位工程上常用工程大气压的倍数来表示压强。所谓工程大气压是指海拔高度200米处正常气候条件下的大气压强，其数值为每cm2上作用1公斤力，即kgf/cm2，用符号at表示。1at=1kgf/cm2=(1×9.8/10-4)Pa=98kPa上述三种压强单位表达法之间的关系为：1个工程大气压=98kPa=10m（H2O）=736mm（Hg）1个标准大气压=101.325kPa=10.33m（H2O）=760mm（Hg）3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位【例3-3】如图3-9所示，有一开敞水箱，已知当地大气压Pa=98kPa，水的密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g=9.8m/s2。求水面下h=0.68m处M点的相对压强和绝对压强，并分别用应力单位、工程大气压和水柱高度表示。【解】M点的相对压强（工程大气压）3.4压强的度量和测量3.4.2压强的单位【例3-3】如图

所示，有一开敞水箱，已知当地大气压Pa=98kPa，水的密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g=9.8m/s2。求水面下h=0.68m处M点的相对压强和绝对压强，并分别用应力单位、工程大气压和水柱高度表示。【解】M点的绝对压强（工程大气压）3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量1.测压管测压管是一根玻璃直管，其一端连接在被测管路或容器侧壁，另一端开口直接和大气相通，如图所示。由于相对压强的作用，水在管中上升或下降，与大气相接触的液面相对压强为零。因此，只要根据测压管中液面上升的高度，即可测出管路或容器内流体静压强的大小。3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量1.测压管测压管的优点是结构简单，测量准确；缺点是只适用于测量较小的压强，一般不超过9800Pa，相当于1mH2O。如果被测压强较大，则需加长测压管的长度，使用很不方便。此外，测压管中的工作介质是被测容器中的流体，所以测压管只能用于测量液体的压强。3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量2．压差计压差计是量测两点压强差的仪器。常用的压差计有空气压差计、水银压差计和斜式压差计等。各种压差计多用U形管制成，并根据静压强规律计算压强差。3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量（1）空气压差计图是一空气压差计。因空气的密度较小，可认为U形管中液面上压强P0均相等。设两管水面高差为△h则若管路水平放置，则A、B两点在同一水平面上，即zA=0，则

（3-15）3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量（2）水银压差计当所测两点的压差较大时，可使用水银压差计，如图所示。设A、B两点处液体密度分别为ρA和ρB。两点的相对位置及U形管中水银面之高差如图所示。根据等压面的概念，断面1和断面2处压强相等，即p1=p2。其中：故得3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量（2）水银压差计如A、B两点处为同一液体，即ρA=ρB=ρ，则如A、B两点处为同一液体，且在同一高程，即z2-z1=0，则如A、B两点处的液体都是水，因为水银与水的密度之比为13.6，故3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量（3）倾斜式压差计当量测很小的压差时，为了提高量测精度，可采用倾斜式压差计。如图3-13所示，垂向空气压差计中的液面高差△h增大为△h’(△h=△h’/sinθ)其中，θ=10°~30°，读数增大2~5倍。3.4压强的度量和测量3.4.3压强的测量【例3-4】在某供水管路上装一复式U形水银测压计，如图所示。已知测压管显示的各液面的标高和A点的标高为试确定管中A点压强。其中，【解】已知液面1上压强为当地大气压强，因此从点1开始，应用等压面和流体静压强基本公式逐点推算，便可求得A点压强。因2－2、3－3、4－4为等压面，可得联立求得将已知值代入上式得pA=298.5kpa。液体作用在平面上的压力3.5液体作用在平面上的压力概述工程上除要确定点压强外，还需确定流体作用在受压面上的总压力。对于气体，因面上各点的压强相等，总压力的大小等于压强与受压面面积的乘积。对于液体，因不同高度压强不等，计算总压力必须考虑压强的分布。计算液体总压力，实质是求受压面上分布力的合力。3.5液体作用在平面上的压力3.5.1流体静压强分布图根据静压强公式p=ρgh，以及静压强的方向垂直指向受压面的特性，可以用图形来表示静压强的大小和方向，称此图形为流体静压强分布图。静压强分布图绘制规则如下：①按一定比例用线段长度代表该点静压强的大小；②用箭头表示静压强的方向，并与受压面垂直。3.5液体作用在平面上的压力3.5.1流体静压强分布图不同情况流体静压强分布图的画法列举如下：①图为一垂向平板闸门AB。A点位于自由液体上，相对压强为零；B点在水面下h，相对压强pB=ρgh。绘制带箭头线段CB，线段长度为ρgh，并垂直指向AB。连接直线AC，并在三角形ABC内作数条平行于CB带箭头的线段，则ABC即表示AB面上的流体相对压强分布图。如果闸门两边同时承受不同水深的静压力作用，如图所示。因闸门受力方向不同，先分别绘出左右受压面的压强分布图，然后两图叠加，消去大小相同方向相反的部分，余下的梯形即为流体静压强分布图。3.5液体作用在平面上的压力3.5.1流体静压强分布图②图为受压面是一折面的流体静压强分布图。3.5液体作用在平面上的压力3.5.1流体静压强分布图③图中有上下两种密度不同的液体作用在平面AC上，两种液体分界面在B点。B点压强pB=ρ1gh1，C点压强pC=ρ1gh1+ρ2g(h2-

h1)。流体静压强分布如图所示。3.5液体作用在平面上的压力3.5.1流体静压强分布图④图为作用在弧形闸门上的流体静压强分布图。闸门为一圆弧面，面上各点压强逐点算出，各点压强均沿法向指向圆弧的中心。3.5液体作用在平面上的压力3.5.2图解法图解法是利用压强分布图计算静水总压力的办法。该方法在计算作用于矩形平面上所受的静水总压力时最为方便。3.5液体作用在平面上的压力3.5.2图解法1.静水总压力的大小作用于平面上静水总压力的大小等于分布在平面上各点静压强的总和。因此，作用于单位宽度上的静水总压力等于静压强分布图的面积；作用于矩形平面的静水总压力等于矩形平面的宽度乘以静压强分布图的面积。图所示为一任意倾斜放置的矩形平面ABEF，平面长为l、宽为b。令其静压强分布图的面积为Ω，则作用于矩形平面上的静水总压力因为静压强分布图为梯形，其面积于是3.5液体作用在平面上的压力3.5.2图解法2．静水总压力的作用点矩形平面有纵向对称轴，压力中心即P的作用点D必位于纵向对称轴O－O上。同时，总压力P的作用点还应通过压强分布图的形心点Q。如果压强呈矩形分布，其形心必在中点处；如果压强呈三角形分布，形心必在距底边1/3高度处。在图中，压强呈梯形分布，则形心位置距梯形底边的距离3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法当受压面为任意形状时，常用解析法求解其静水总压力的大小和作用点位置。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法1.静水总压力的大小设任意形状平面，面积为A，与水平夹角α。首先建立坐标系，其中，以平面的延伸面与液面的交线为Ox轴，Oy轴垂直于Ox轴向下，且位于平面上。将平面所在坐标面绕Oy轴旋转90°，以展现受压平面，如图所示。在受压面上，围绕任一点(x，y)取微元面积dA，液体作用在dA上的微小压力3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法1.静水总压力的大小作用在平面上的总压力是平行力系的合力积分为受压面A对Ox轴的静面距。若设C点为面积A的形心，则根据静面距定理，它等于受压面积A与其形心C到Ox轴的距离yC的乘积，即3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法1.静水总压力的大小将该式代入上式，得

（3-19）式中

P——平面上静水总压力；

yC——受压面形心到Ox轴的距离；

hC——受压面形心点的淹没深度；

pC——受压面形心点的压强。式（3-19）表明，任意形状平面上，静水总压力的大小等于受压面面积与其形心点的压强的乘积。总压力的方向沿受压面的内法线方向。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点总压力作用线与平面的交点称为压力中心。设总压力作用点（压力中心）为D，其坐标为（xD，yD）。由于静压强p与深度h成正比，越靠下部，其压强越大。因此，压力中心D通常低于平面的形心C，只有当作用面水平时，压强均匀地分布在作用面上，这时压力中心才与作用面的形心重合。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点根据合力矩定理，合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴的力矩之和。由于D到Ox轴的距离为yD，则

式中，积分

为受压面A对Ox轴的惯性矩。将其代入上式，得将代入化简得3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点由惯性距的平行移轴定理，代入上式得

（3-20）式中yD——总压力作用点到Ox轴的距离； yC——受压面形心到Ox轴的距离；

——受压面对平行Ox轴的形心轴的惯性矩；A——受压面的面积。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点式（3-20）中，因为

总是一个正值，故yD>yC。也就是说，总压力作用点D总是在受压面形心点C之下，这是由于压强沿淹没深度增加的结果。随着受压面淹没深度的增加，yC增大，

减小，总压力作用点靠近受压面形心。当受压面水平放置时，总压力作用点与受压面的形心重合。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点同理，对Oy轴取力矩，可以得到压力中心D到Oy轴的距离xD，则式中，

为受压面A对Ox、Oy轴的惯性积，记为则3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法2．总压力的作用点在实际工程中，受压面多为轴对称平面（与Oy轴平行），如矩形、梯形、圆形等。总压力P的作用点必然位于该对称轴上，在这种情况下，只需算出yD，作用点的位置便完全确定，不再需要计算xD。否则，如果受压面为非对称面，则还需要算出xD，以确定中心点D的位置。3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

矩形bh3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

三角形3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

半圆3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

梯形3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

圆形r3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法几何图形名称面积A形心坐标yC通过形心轴的惯性矩

椭圆形3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。【解法一】解析法：闸门左侧受力分析：静水总压力：受压面形心到Ox轴的距离：3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。受压面对平行Ox轴的形心轴的惯性矩：受压面面积：总压力作用点到Ox轴的距离：3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。闸门右侧受力分析：静水总压力：受压面形心到Ox轴的距离：受压面对平行Ox轴的形心轴的惯性矩：3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。受压面面积：总压力作用点到Ox轴的距离：闸门总的受力：考虑P1、P2对O’点的合力矩3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。得出或3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。【解法二】图解法：作闸门左右侧的压强分布图3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法【例3-5】宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45°，左侧水深h1=3m，右侧水深h2=2m，如图所示。求作用在闸门上的水的静压力及其作用点。则参考【解法一】，考虑P1、P2对O’点的合力矩，得或3.5液体作用在平面上的压力3.5.3解析法显然，对矩形平面受力，用图解法较简练；对平面两侧受水体作用的问题，可分解成两个独立的单面受力问题，分别求出静水压力的大小和压力中心，再根据理论力学平面平行力系的简化，求出静水总压力的压力中心和大小；在解析法中，由于两侧的坐标系原点在不同的液面上，尽管y轴轴线是重合的，还是应将坐标系的符号加以区别。液体作用在曲面上的压力3.6液体作用在曲面上的压力概述在实际工程中，我们经常会遇到承受水压力的作用面是曲面的情况，如圆形储水池壁面、圆管壁面、弧形闸门以及球形容器等。作用在曲面上任一点的静水压强也是沿着作用面的法线方向指向作用面，并且其大小与该点所在的水深成正比。因此，与平面类似，我们也可以由此绘出曲面上的压强分布图，如图所示。3.6液体作用在曲面上的压力概述由压强分布图可以看出，曲面上各点的曲率是变化的，各点的法线方向各不相同，彼此既不平行，也不一定交汇于一点。因此，求曲面上的合力不能像平面那样，直接积分求其代数和。为了将求曲面总压力问题也变为平行力系求合力的问题，以便于积分求和，通常需要将曲面上的总压力P分解为水平分力Px和垂直分力Py，然后再合成为合力P。另外，由于工程中的曲面多为二维曲面，即为有平行母线的柱面，因此，下面重点讨论这种情况。3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力设有二维曲面AB（柱面），母线垂直于图面，曲面的面积为A，一侧承压。选坐标系，令xOy平面与液面重合，Oz轴向下，如图所示。3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力在曲面上沿母线方向任取条形微元面EF，因各微元面上的压力dP方向不同，故不能直接积分求作用在曲面上的总压力。为此，将dP分解为水平分力和铅垂分力。式中 dAx——EF面在铅垂面yOz上的投影；dAz——EF面在水平面xOy上的投影。3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力则总压力的水平分力为其中，积分是曲面的铅垂投影面Ax对水平轴Oy轴的静面矩。如以hC表示垂直投影面Ax的形心在液面以下的深度，则3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力则

（3-22）式中

Px——曲面上总压力的水平分力；

Ax——曲面的铅垂投影面积；

hC——投影面Ax形心点的淹没深度；

pC——投影面Ax形心点的压强。3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力式（3-22）表明，液体作用在曲面上总压力的水平分力，等于作用在该曲面的铅垂投影面的压力。总压力的铅垂分力

（3-23）是曲面到自由液面（或自由液面延伸面）之间的铅垂柱体——压力体的体积。式（3-23）表明，液体作用在曲面上总压力的铅垂分力等于压力体的重量。3.6液体作用在曲面上的压力3.6.1曲面上的总压力求出了水平分力