24版高中同步新教材选择性必修第一册苏教版数学-增分测评卷-03-第3章　圆锥曲线与方程

姓名班级考号姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题第3章圆锥曲线与方程全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y=116x2的准线方程是()A.y=4B.y=8C.y=-4D.y=-82.已知双曲线E与椭圆C:x26+y22=1的焦点相同,且E的离心率是C的离心率的3倍,则双曲线A.x2-y23=1B.y2-x212=1C.x223.斜率存在的直线l过点(0,-1),且与双曲线C:y24-x2=1有且只有一个公共点,则直线l的斜率为(A.±3B.±2C.2或3D.±3或±24.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是()ABCD5.已知F1,F2分别是双曲线M:y24−x2m2=1(m>0)的下、上焦点,直线y=255x是M的一条渐近线,离心率为34的椭圆E与M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点,则A.8B.6C.10D.126.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C相交于A,B两点,且与y轴相交于点P,若PA=3PB,AF=8,BF=4,则p=()A.1B.2C.3D.47.已知圆x2+y2=4与x轴的交点分别为A,B,点P是直线l:y=-x+6上的任意一点,椭圆C以A,B为焦点且过点P,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A.15,22B.0,558.设F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直A.815二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知方程x216+k−y29−A.方程x2B.当k>9时,方程x216+kC.当-16<k<9时,方程x216+kD.当方程x216+k10.已知圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断正确的是()A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时,点Q的轨迹是椭圆B.点Q的轨迹可能是一个定点C.点Q的轨迹可能是抛物线D.当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线的一支11.设F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.AB≥4B.OA+OB>8C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3D.△OAB的面积的最小值是212.某文物考察队在挖掘时,挖出了一件宋代小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆C2:x2c2+y2d2=1(x<0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,若A.半椭圆C1的离心率是3B.半椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为27C.半椭圆C2的焦距为4D.半椭圆C2的长轴长与短轴长之比大于半椭圆C1的长轴长与短轴长之比三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线,发现其轴截面的轮廓线为抛物线的一部分,如图2,在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入,经反射聚焦到焦点F处,已知卫星接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为m.

图1图214.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点,与x轴交于C(2p,0),若AB=17,则△OCF的面积为.

15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过点M(0,-b)的直线l与双曲线C在第一象限切于点A,F为双曲线C的右焦点,若直线AF的斜率为1416.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为23π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,则椭圆C的标准方程为.若过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求满足下列条件的曲线的方程:(1)离心率为34,长轴长为8的椭圆的标准方程(2)与椭圆x224+y240=1有相同焦点,且经过点(18.(本小题满分12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点M(4,y0)到焦点F的距离为5.(1)求抛物线E的方程;(2)直线l与圆C:x2+y2-4x=0相切且与抛物线E相交于A,B两点,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy内,已知点F(0,2),动点P与点F之间的距离比点P到x轴的距离大2.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F任作一直线l与曲线C交于A,B两点,直线OA,OB与直线y=-2分别交于点M,N,求证:以线段MN为直径的圆经过点F.20.(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上,中心在原点,离心率为233,且过点(6,1(1)求双曲线的标准方程;(2)双曲线的左、右顶点分别为A,B,且动点C(m,n),D(m,-n)在双曲线上,直线BC与直线AD交于点P,M(-2,0),N(2,0),求PM·PN21.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>1≥b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,且当M为C的上顶点时,(1)求C的方程;(2)若A是C的右顶点,设直线l,AM,AN的斜率分别为k,k1,k2,求证:k1k122.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,O为坐标原点,且F1F2=2(1)求C的方程;(2)若椭圆E:x2a2+y2b2=λ(λ>0且λ≠1),则称E为C的λ倍相似椭圆,如图,已知E是C的3倍相似椭圆,直线l:y=kx+m与两椭圆C,E交于四点(依次为M,N,P,Q),且MN=NP,证明:点答案全解全析1.C2.C3.D4.D5.D6.D7.B8.C9.BCD10.ABD11.ACD12.BC1.C将y=116x2化为标准形式为x2=16y,则准线方程为y=-4.故选C2.C由题意设双曲线E的方程为x2a2−y2b2=1∵椭圆C:x26+y22=1的焦点坐标为(±2∴双曲线E中,c=2,离心率为3×26=∴a=2,∴b2=c2-a2=2,故双曲线的标准方程为x22−y3.D由题意设直线l的方程为y=kx-1,联立y24−x2=1,y=kx−1,消去y,整理可得(当k2=4,即k=±2时,方程只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±3,此时方程有两个相等的实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点.所以k=±2或k=±3.故选D.4.D两个方程可变形为x21a2+y21b2=1①,y2=-abx②,因为a>b>0,故①表示焦点在y轴上的椭圆,5.D由题意得2m=255,∴m=5,∴双曲线∴F1(0,-3),F2(0,3),∵椭圆E与双曲线M的焦点相同,∴设椭圆E的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则c=3,又由椭圆和双曲线的定义可得PF1+PF2=8,|PF1-PF2|=4,∴PF1·PF2=(PF1+6.D过点A,B分别作抛物线准线的垂线AD,BM,垂足分别为D,M,且AD,BM与y轴分别相交于E,N,则△PAE∽△PBN,得PAPB=由抛物线的定义知AF=AD,BF=BM,所以PAPB=AEBN=AD故选D.7.B由题意,不妨令A(-2,0),B(2,0),则椭圆的半焦距c=2,易知P到A,B两点距离之和的最小值为B关于直线l的对称点B'与A的距离.设B'(m,n),可得nm−2=1,n+02=6−m+22,解得m=6,n=4,所以B'(6故emax=225=55,又e∈(0,1),所以e8.C如图所示,渐近线l的方程为y=-bax,即bx+ay=0,过F1作AF1⊥l于点A则点F1(-c,0)到l的距离为AF1=|−bc|b2+a2=b,所以OA=OF12设直线BF2与圆F1相切于点B,与直线l交于点C,因为BF2与圆F1相切,且BF2⊥l,所以C为BF2的中点,易得OC=b2,则cos∠COF2=OCOF2=b2c,又cos∠AOF1=cos∠COF2,所以ac=b9.BCD对于A,当方程x216+k−y29−k=1表示圆时,16+k对于B,当k>9时,x216+k−y29−k=1可化为x216+k+对于C,当-16<k<9时,16+k>0,9-k>0,方程x216+k−y2对于D,当方程x216+k−y29−k=1表示双曲线时,c2=16+k+9-k=25;当方程表示椭圆时,c2=16+k-(k故选BCD.10.ABD对于A,如图1,连接QA,OA,图1则QA=QP,所以QO+QA=QO+QP=OP=r.因为点A在圆内,所以OA<OP,由椭圆的定义可知点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆,故A正确.对于B,当点A在圆上时,点Q与圆心重合,轨迹为定点,故B正确.对于D,如图2,连接QA,OA,图2则QA=QP,所以|QA-QO|=|QP-QO|=OP=r.因为点A在圆外,所以OA>OP,由双曲线的定义可知点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线,故D正确.对于C,当点A与圆心O重合时,点Q的轨迹为圆,综合选项A,B,D可知点Q的轨迹不可能为抛物线,故C错误.故选ABD.11.ACD易知F(1,0),不妨设点A在第一象限.若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),此时AB=4,OA+OB=2OA=25<8,此时S△OAB=12×4×1=2,故B错误若直线l的斜率存在,设为k,显然k≠0,则直线l的方程为y=k(x-1),联立y=k(x−1),y2=4x,消去y,得k2x2-(2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k∴AB=x1+x2+2=4+4k2原点O到直线l的距离d=kk∴S△OAB=12×AB×d=12综上,AB≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确;如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为xP+1=3,故C正确.故选ACD.12.BC∵F1,F2是半椭圆C2:x2c2+y2d2=1(x<0)的焦点,∴F1,F2关于原点对称,且F0又∵∠F1F0F2=60°,∴△F1F0F2为正三角形,故OF0=3OF1,∵F1,F2在圆x2+y2=4上,∴OF1=2,∴OF0=23.易知半椭圆C1:x2a2+y2b2=1(x≥0)的短轴与半椭圆C2:x2c2+a2-b2=OF02=(23)2=12,d2-c2=OF∴d=b,a2−b2=12,d2−c2=4,∴a2-c2=16,∴b∴半椭圆C1的方程为x228+y216=1(x≥0),半椭圆C2的方程为x对于A,半椭圆C1的离心率e=ca=2对于B,半椭圆C1上的点到F0距离的最小值为27−23,对于C,半椭圆C2的焦距为F1F2=4,正确;对于D,半椭圆C1的长轴长与短轴长之比为2a2b=478∵23∴半椭圆C2的长轴长与短轴长之比小于半椭圆C1的长轴长与短轴长之比,不正确.故选BC.13.答案1.44解析建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得点A(1,2.4),所以2p=2.42,解得p=2.88,所以所求焦点坐标为(1.44,0),因此该抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m.14.答案32解析易求得焦点F0,p2,又C(2p,0),∴kFC=∴直线l的方程为y=-14x+p联立y=−14x+p2,x2=2py,消去设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-p2,x1x2=-p2由弦长公式可得AB=1+−142|x1-=174−p22+4∴S△OCF=12·OC·OF=12·2p·p15.答案4解析易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx-b(k>0),联立x2a2−y2b2=1,y=kx−b,消去y并整理得(b2-a2k2)由题意得Δ=4a4b2k2+8a2b2(b2-a2k2)=0,即a2k2=2b2,代入方程(*)并化简得x2-22ax+2a2=0,所以xA=2a,代入双曲线方程可得yA=b,即A(2a,b),又F(c,0),所以kAF=b2a−c=142化简得5e2-142e+16=0,解得e=425或e=216.答案x24+解析依题意得ab=23,a=2c,a易知直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,联立x=my+1,x24+y23=1,消去x,得(设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1所以|y1-y2|=(y所以S△OAB=12×OP×|y1-y2|=6令t=m2+1(t≥1),则m2=t2-1,S△OAB=因为y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增所以当t=1,即m=0时,△OAB的面积取得最大值,为3217.解析(1)由题意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,则b=a2若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x216若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y216综上,椭圆的标准方程为x216+y27(2)易知椭圆的焦点为(0,4)和(0,-4),所以双曲线的焦点为(0,4)和(0,-4).(6分)设所求双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),则由双曲线经过点(1,15),得15a2−1b2=1联立①②,解得a2=12,b2=4,故双曲线的标准方程为18.解析(1)由抛物线的定义知4+p2=5,∴p=2,(2分)因此抛物线E的方程为y2=4x.(3分)(2)由题意知,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+n.∵直线l与圆C相切,圆心C(2,0),半径r=2,∴|2−nm2+1=2,∴4m2=n2-4设A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+n,y2=4x消去x故y1+y2=4m,y1y2=-4n,则AB=1+m2·|y1-y2|=1+m2·又原点O到直线l的距离d=n1+∴S△AOB=12AB·d=12∴(m2+n)n2=4,(10分)又4m2=n2-4n,∴n=±2.当n=2时,m2=-1不成立;当n=-2时,m2=3,∴m=±3.∴直线l的方程为x=±3y-2,即x±3y+2=0.(12分)19.解析(1)∵动点P与点F之间的距离比点P到x轴的距离大2,∴动点P与点F之间的距离等于点P到直线y=-2的距离,(2分)故点P的轨迹是以点F为焦点的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),又p2=2,∴p=4,故动点P的轨迹C的方程为x2=8y.(4分)(2)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,Ax1,x128,Bx2,x228,则lOA:y=x18由y=x18x,y=−2∴FM=−16x1,−4由y=kx+2,x2=8y得x2-8kx-16=0,∴x1x则FM·FN=−16x1,−4因此,以线段MN为直径的圆经过点F.(12分)20.解析(1)设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2则6a2−1b2=1,c2=a2+b2,ca=2(2)当m=±3时,点P与点A,B重合,不符合题意,舍去.(5分)当m≠±3时,直线AD:y=n−3−m(x+3),直线BC:y=nm两直线方程左、右两边分别相乘得y2=n23−m2(x2-3).又因为m23-n2=1,即-3n2=3-m2,所以y2=-13(x2-3),即x23+y2=1故PM·PN=(PO+OM)·(PO−OM)且PO∈(1,3],所以PM·PN∈(-1,1].(12分21.解析(1)△MNF1的周长=MF1+MN+NF1=MF1+MF2+NF2+NF1=4a=8,解得a=2,(2分)则椭圆C:x24+y2b2当M为C的上顶点时,直线l:xc+由xc+yb=1,x24+