24版高中同步新教材选择性必修第一册苏教版数学-增分测评卷-04-第4章　数列

姓名班级考号姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题第4章数列全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知正项等比数列{an}中,a3a5=4,且a4,a6+1,a7成等差数列,则数列{an}的公比q为()A.14B.12C.2D2.在数列{an}中,a4=1,a6=13,且数列1an是等差数列,则a19=(A.16B.116C.19D.3.已知数列{an}满足a1=3,且an+1an=an-1,则a2021的值为()A.3B.23C.12D.4.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本传染数R0=2,平均感染周期为7天,那么感染人数由1(初始感染者)增加到999大约需要的天数为(初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……参考数据:lg2≈0.3010)()A.42B.56C.63D.705.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=2,S30=14,则S40=()A.20B.30C.40D.506.若数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=0,2an+1=3an+bn+2,2bn+1=an+3bn-2,则a2022+b2021=()A.2×32020+1B.3×22020-1C.3×22020+1D.3×22021-17.已知数列{an}满足a1=1,a2=116,anan+2=4an+12,则an的最小值为A.2-12B.2−254C.2-58.设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,已知a5=11,S10=120,bn=1an·an+1,若Tk=17,A.9B.8C.7D.6二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.设d,Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和,若S10=S20,则下列判断正确的有()A.当n=15时,Sn取最大值B.S30=0C.当d>0时,a10+a22>0D.当d<0时,|a10|>|a22|10.已知数列{an}满足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N*),其前n项和为Sn,则()A.{Sn}的通项公式可以是Sn=n2-n+1B.若a3,a7为方程x2+6x+5=0的两根,则a6-12a7=-C.若S4S2=2,则S8S4=4D.若S4=S8,11.已知数列{an}满足a1=1且an+1=1+1nan,数列{bn}满足bn=antn(n∈N*),则下列说法正确的有(A.数列{bn}为等比数列B.当t=2时,数列{bn}的前n项和为(n-1)2n+1+2C.当t∈(0,1)且t1−t为整数时,数列{bnD.当t∈0,12时,数列{bn12.在数列{an}中,若an2−an−12=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}A.若{an}是等差数列,则{an2B.{(-1)n}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则数列{an}为常数列三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,等差数列{bn}的首项为b,公差为e.如果cn=an+bn,且c1=4,c2=8,则c10=.

14.已知数列{an}满足a1=34,an+1-1=an−12−an,bn=1-an,则b1b2+b2b3+…+b15.一个数表如图所示,第1行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均有无限项,则这个数表中的第11行的第7个数为(用具体数字作答).

16.“雪花”是非常美丽的图案,理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图,“雪花曲线”的一种形成过程为:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程.若第1个图形中的三角形的周长为1,则第n个图形的周长为;若第1个图形中的三角形的面积为1,则第n个图形的面积为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a4=6,a3a4=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an+2·14n−1,求数列{bn}的前n项和18.(本小题满分12分)已知数列{an}是递增的等比数列,前3项和为13,且a1+3,3a2,a3+5成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的首项b1=1,其前n项和为Sn,且,若数列{cn}满足cn=anbn,{cn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.

在下列三个条件中任意选择一个,填入上面横线处,并根据题意解决问题.①3Sn+bn=4;②bn=bn-1+2(n≥2);③5bn=-bn-1(n≥2).注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.19.(本小题满分12分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元.由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2−n+2)a2万元,(1)求甲、乙两超市第n年全年的销售额的表达式;(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪个超市有可能被收购.如果有这种情况,将会出现在第几年?20.(本小题满分12分)已知数列{an}中,a1=2325,an=2-1an−1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足:bn=1an−1(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{bn}的通项公式;(2)求|b1|+|b2|+…+|b20|的值;(3)求an的最大值和最小值.21.(本小题满分12分)已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明bnn(3)若数列{cn}的通项公式为cn=−anbn2,n为奇数,anbn4,n为偶数,令22.(本小题满分12分)已知在每一项均不为0的数列{an}中,a1=3,且an+1=pan+tan(p,t为常数,n∈N*),记数列{an}的前n项和为S(1)当t=0时,求Sn;(2)已知p=12,t=2①求证:数列lgan②是否存在正整数m,使得不等式Sn-2n<m对任意n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.答案全解全析1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.D8.A9.BC10.BD11.BCD12.BCD1.C∵{an}是正项等比数列,且a3a5=4,∴q>0,a42=a3a5=4,∴a4∵a4,a6+1,a7成等差数列,∴a4+a7=2(a6+1),即2+2q3=4q2+2,∴q=2.故选C.2.B由题意可得1a4=1,1a6=3,设数列1an的公差为d,即d=1,故1a19=1a4+(19-4)×1=16,解得a3.B由题意得an+1=1-1an,所以a2=1-1a1=1−13=23,a3=1-1a2=1−32=−12,a4=1-1a3=1-(-2)=3=a1,故数列{4.C设第n轮感染的人数为an,则数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,其前n项和为Sn,由Sn+1=2×(1−2n)1−2+1=999,可得2n+1=1000,故2n=500,两边取常用对数得nlg2=lg500,则nlg2=3-lg2,所以n=3lg2−1≈5.B设等比数列{an}的公比为q,由题易知q≠1,则a1(1−q10)1−q=2①,a1(1−q30)解得q10=2或q10=-3(舍),则q40=16,将q10=2代入①,得a11−所以S40=a1(1−q40)1−q=(-2)×6.C因为2an+1=3an+bn+2,2bn+1=an+3bn-2,所以2an+1+2bn+1=3an+bn+2+an+3bn-2=4(an+bn),即an+1+bn+1=2(an+bn),又a1+b1=2,所以{an+bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an+bn=2n,又2an+1=3an+bn+2,即an+1=32an+12bn所以an+1+bn=32an+12bn+1+bn=32(an+bn)+1=32所以a2022+b2021=32×22021+1=3×22020+1,故选C7.D∵a1=1,a2=116,anan+2=4an+12,∴an≠0所以数列an+1an为等比数列,首项为a2a1=116,公比为4当n≥2时,an=anan−1·an−1an−2·…·a2a1·a1=4因为n=1时,a1=1满足上式,所以an=2(n-1)(n-6).因为y=(n-1)(n-6)=n−所以当n=3或n=4时,an取得最小值,为2-6.故选D.8.A设等差数列{an}的公差为d,因为S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)=5(11+a6)=120,所以a6=13,则d=a6-a5=2,所以an=a5+2(n-5)=2n+1所以Tn=1213−15+15−17+…+9.BC因为S10=S20,所以10a1+10×92d=20a1+20×192d,解得a1=-因为无法确定a1和d的正负,所以无法确定Sn是否有最大值,故A错误.S30=30a1+30×292d=30×−292d+15×29d当d>0时,a10+a22=2a16=2(a1+15d)=2−292d+15d=a10=a1+9d=-292d+9d=-112d,a22=a1+21d=-292d+21d=当d<0时,|a10|=-112d,|a22|=-132则|a10|<|a22|,故D错误.故选BC.10.BD因为an+2=2an+1-an(n∈N*),所以an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,设公差为d,则Sn=dn对于A,若Sn=n2-n+1,则a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,因为a3-a2=2≠a2-a1=1,所以数列{an}不是等差数列,与题意矛盾,故A错误;对于B,a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,则an=-n+2,所以a6=-4,a7=-5,所以a6-12a7=-4+52=−对于C,S4S2=16d+4(2−d)4d+2(2−对于D,由S4=S8得16d+4(2−d)2=所以Sn=-111n2+1211n,由Sn>0,得-111n2+1211n>0,所以使Sn>0的正整数n的最大值为11,故D正确.故选BD.11.BCD由an+1=1+1nan,得an+1n+1=ann,又a11=1,所以数列ann是常数列,且ann=1,故an=n,所以bn=ntn,若t=0,则bn=0,则{bn}不是等比数列,若t≠0当t=2时,bn=n·2n,设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,①2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②②-①得Tn=-(2+22+23+24+…+2n)+n·2n+1=(n-1)2n+1+2,B正确;易得bn+1-bn=(n+1)tn+1-ntn=(n+1)tnt−若t∈(0,1),则当t<nn+1,即n>t1−t时,bn+1-bn<0,即bn+1当t≥nn+1,即n≤t1−t时,bn+1-bn≥0,即bn+1≥bn,故随着n的变大,{b因为t1−t为整数,所以当n=t1−t时,bn最大,且bn=bn+1,即数列{bn}因为n∈N*,所以y=nn+1=1−1n所以当t∈0,12时,bn+1-bn=(n+1)tnt−nn+1<0,数列{bn}12.BCD在A中,取an=n,则{an}是等差数列,且an2=n2,则n≥2时,an2−an−12=n2-(n-1)2=2n-1,不是常数在B中,设an=(-1)n,则n≥2时,an2−an−12=[(−1)n]2-[(-1)n-1]2=1-1=0,在C中,由{an}是等方差数列,得an2−an−12=p(n≥2),从而an2=a12+(n-1)p,所以n≥2时,akn2−ak(n−1)2=a12+(kn-1)p-[a12+(kn在D中,由{an}是等差数列,可设其公差为d,则an-an-1=d(n≥2),又{an}是等方差数列,所以an2−an−12=p(n≥2),所以an2−an−12=(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)d=p①,从而(an+1+an)d=p②.②-①,得2d2=0,13.答案40解析因为cn-cn-1=an+bn-(an-1+bn-1)=an-an-1+bn-bn-1=d+e(n≥2),所以数列{cn}是以a+b为首项,d+e为公差的等差数列,因为c1=4,c2=8,所以a+b=4,d+e=c2-c1=8-4=4,所以c10=4+4×9=40.14.答案1解析由an+1-1=an−12−an,bn=1-an,得bn+1=b由a1=34,得b1=1-a1=1-3所以数列1bn是以1所以1bn=4+(n-1)×1=n+3,即bn=1n+3,所以bn所以bnbn+1=1(所以b1b2+b2b3+…+b16b17=1=1415.答案12288解析设am,n表示第m行的第n个数,由题中数表可知,每一行均成等差数列,且第m行的公差为2m-1,则am,n=am,1+(n-1)·2m-1,am,1=a(m-1),1+a(m-1),2=2a(m-1),1+2m-2(m≥2),则am故数列am,12m是首项为则am,12m=12+m−14,即am所以am,n=(m+1)2m-2+(n-1)2m-1=(m+2n-1)2m-2,故a11,7=(11+14-1)×29=24×29=12288.16.答案4解析记第n个图形为Pn,其三角形边长为an,边数为bn,周长为Ln,面积为Sn.若第1个图形中的三角形的周长为1,则a1=13,b1=3则P1有b1=3条边,边长为a1=13;P2有b2=4b1条边,边长为a2=13a1;P3有b3=42b1条边,边长为a3=132a则an=13n−1a1=13n,bn=b1·4n所以Ln=anbn=13n×3×4n-1=由题意可知Pn是在Pn-1的每条边上生成一个小三角形,即Sn=Sn-1+bn-1×34an2故Sn-Sn-1=34×an2×bn-1,Sn-1-Sn-2=34×an−12×bn-2,……,累加可得Sn-S1=34(an2·bn-1+an−12·bn因为数列{an}是以13为公比的等比数列,数列{bn}是以4为公比的等比数列,所以{an2·bn-1}是以若第1个图形中的三角形的面积为1,则S1=1,即34a12=1,故a12=433所以an2·bn-1+an−12·bn-2+…+a2所以Sn-S1=35×1−49n−117.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则a解得a1=−1,d=2,所以an=-1+(n-1)×2=2n-3.(4分)(2)由(1)得an+2=2n+1,因为bn=an+2·14n−1,所以bn=(2n+1)·14n所以Tn=3×140+5×141+7×142+…+(2则14Tn=3×141+5×142+7×143+…+(2n-1)两式相减得34Tn=3+2×141+142+143+…+14n所以Tn=449−83n18.解析(1)设数列{an}的公比为q,则a1+a2所以3q+3q=10,即3q2-10q+3=0,解得q=13或q=3,(4分又因为{an}是递增的等比数列,所以q>1,所以q=3,所以a1=a2q所以an=3n-1.(6分)(2)选择①,因为3Sn+bn=4,所以3Sn-1+bn-1=4(n≥2),两式相减得3(Sn-Sn-1)+bn-bn-1=0,即4bn-bn-1=0(n≥2),所以bn=14bn-1(n≥2),所以数列{bn}是以1为首项,14故bn=14n−1,因此cn=anbn=34n所以cn>0恒成立,即c1>0,c2>0,c3>0,……,所以(Tn)min=T1=c1=1.(12分)选择②,由bn=bn-1+2(n≥2)知{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,所以cn=anbn=(2n-1)·3n-1,(9分)易知cn>0,即c1>0,c2>0,c3>0,……,所以(Tn)min=T1=c1=1.(12分)选择③,由5bn=-bn-1(n≥2)知{bn}是以1为首项,-15为公比的等比数列所以bn=−15n−1,所以cn=anb所以Tn=1−−35n1+当n为奇数时,由于−35n<0,故Tn当n为偶数时,由于−35n>0,故Tn又Tn=581−−3所以当n=2时,(Tn)min=58综上所述,Tn的最小值为25.(12分)19.解析(1)设甲、乙两个超市第n年全年的销售额分别为an万元、bn万元,甲超市前n年的总销售额为Sn万元,则Sn=(n当n=1时,S1=a1=a;(1分)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a2·[n2-n+2-(n-1)2+(n-1)-2]=(n-1)经检验,a1=a不满足上式,故an=a,n=1,因为b1=a,n≥2时,bn-bn-1=23n所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=a+23a+232a+…+23n−1a=显然b1=a也满足上式,所以bn=3−223n−1a(n∈N*).(2)a2=a,b2=53a,则a2>12b2;a3=2a,b3=199a,则a3>12b3;当n≥4时,an≥3a,bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.当n≥4时,令12an>bn,则12(n-1)a>3−2即n-1>6-423n−1,所以n>7-423n−1,即n+42即第7年开始乙超市的年销售额不足甲超市的年销售额的50%,乙超市将被甲超市收购.(12分)20.解析(1)bn-bn-1=1an−1−1an−1−1=又b1=1a1−1=−252,∴数列{bn}是首项为-252∴bn=b1+(n-1)×1=n-272.(4分)(2)由bn=n-272≥0,得n≥272,故n≤13时,bn<0;n≥14时,bn>0.(6分∴|b1|+|b2|+|b3|+…+|b20|=-(b1+b2+…+b13)+b14+b15+…+b20=-13×−252+13×122(3)由bn=1an−1=n-272,得an=22n又函数f(x)=22x−27+1在−∞,272和272,+∞上均单调递减,当n∴(an)max=a14=3,(a