【矩阵的LU分解、QR分解和奇异值分解的原理及应用探究8100字（论文）】

矩阵的LU分解、QR分解和奇异值分解的原理及应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u9697摘要 )其中，是矩阵A的正奇异值。2.4本章小结在这三种分解方法中，LU分解显然是最为简单的，不管是原理还是计算过程都会比其他两种方法简洁易懂，但是该方法只适用于方阵中，这给LU分解方法的普及带来了不便；QR分解在LU分解的基础上，将分解方法推及到了普通矩阵，对矩阵的行列数没有要求，只要是列满秩矩阵就可以运用，而且其求解方法可以利用第三种初等变换来得到，对于初学者来说，也是一种不错的方法；奇异值分解相比于前两种方法，在矩阵分解和其相关的领域应用的要更广泛一些，当然，它的分解原理和分解过程更难懂一些，但是，奇异值分解是目前已知的最稳定的分解方法，而且速度也不慢，所以，奇异值分解是比LU分解和QR分解更为理想的分解方法。

3.矩阵分解的理论应用3.1LU分解的理论应用在线性代数中，LU分解常用来解线性方程组，利用矩阵初等变换把方程组化为等解的三角形方程组，从而求出方程组的解。例1：利用LU分解求出下列方程组的解： （3.1）解：首先写出增广矩阵并实施行初等变换： （3.2）得到与原方程组等解的三角形方程组： （3.3）利用上式回代即可求出方程组的解。在求解过程中，实际上是先用L1左乘原方程组的增广矩阵，再用L2左乘该增广矩阵，进而得到对应的增广矩阵： （3.4）若将原方程组的系数矩阵记作A，三角形方程组的系数矩阵记作U，则有或者；那么很容易就可以验证出 （3.5）令,则有而且。这表明矩阵A能够分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积，即矩阵的LU分解理论上的应用是正确的。3.2QR分解的理论应用例2：对于列满秩矩阵 （3.6）求矩阵A的QR分解。解：首先将矩阵的列向量提取出来，令 （3.7）由Schmidt正交化方法得： （3.8） （3.9） （3.10）由此可以得到： （3.11）这里注意，实非奇异上三角矩阵R是由Schmidt正交化方法变形得到的， （3.12）所以在进行QR分解计算时，一定要把计算步骤写清楚，因为每一个系数都会成为矩阵的元素。通过验证可以知道，列满秩矩阵A可以分解成列正交矩阵Q和实非奇异矩阵R的乘积，所以QR分解的理论上应用是可行的。3.3奇异值分解的理论应用当矩阵A是一个复矩阵时，将矩阵A的共轭矩阵记作。奇异值分解有两种方法，一种是利用矩阵进行求解，一种是利用矩阵进行求解。（1）利用矩阵求解利用矩阵求解首先求矩阵的酉相似矩阵V （3.13）记 （3.14）令 （3.15）扩充U1为酉矩阵，构造奇异值分解 （3.16）例3：求矩阵 （3.17）的奇异值分解。解：通过 （3.18）可以求出矩阵的特征值为对应的特征向量依次为于是可得 （3.19）令，其中 （3.20）计算 （3.21）构造，则有 （3.22）那么A的奇异值分解为 （3.23）（2）利用矩阵求解利用矩阵求解首先求矩阵的酉相似矩阵U （3.24）记 （3.25）令 （3.26）扩充V1为酉矩阵，构造奇异值分解 （3.27）例4：求矩阵 （2.28）的奇异值分解。解：利用可以得到的特征值对应的特征向量依次为取，令 （3.29）取 （3.30）则有 （3.31）因此，就得到了 （3.32）奇异值分解是一种有着明显物理意义的方法，它将一个比较复杂的矩阵分解成几个简单的小矩阵相乘，每一个小矩阵都描述了大矩阵的一个重要特征。通过验证，奇异值分解理论上是可以应用的。3.4本章小结本章主要列举了几个例子，分别给出了LU分解、QR分解和奇异值分解在理论研究和数值分析上的应用。LU分解在解线性方程组上面有不可代替的作用，过程简洁快速，也可以结合Gauss消元法进行处理；QR分解矩阵时主要利用的是Schmidt正交化方法，从而得到列正交矩阵Q和实非奇异矩阵R，注意要把过程写清楚；奇异值分解在进行数值计算时可以利用和两种方法求解，相比起前两种方法，奇异值分解会带有更多的物理意义。

4.矩阵分解在图像处理上的应用4.1奇异值分解在矩阵压缩的应用原理在用数字理论做图像处理时，通常将一幅图像定义为一个二维的函数f(x，y)，其中(x，y)表示空间坐标，在空间坐标(x，y)点上的幅值f表示该点图像的强度或者灰度。对于数字图像而言，空间坐标(x，y)和幅值f都是有限的、离散的，这样的话，一幅图像就可用一个二维函数表示。对于模拟图像不利于计算机进行处理，所以要将模拟图像转换成数字图像，主要包括：取样和量化。取样就是将(x，y)坐标值离散化，而量化就是将幅度值离散化，这样取样和量化的结果就是一个矩阵，可以表示为： （4.1）或者更一般的矩阵表达式为： （4.2）图像压缩的目的是减少图像遗留在数据中的多余信息，使之得到更高效的格式存储和数据传输，而数据可以压缩的原因就在于数据中存在冗余信息。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维像素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合，图像压缩是指以较少的比特有损或无损地表示原来的像素矩阵的技术，也称图像编码。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无损数据压缩。对于如绘制的技术图、图表或者漫画优先使用无损压缩，这是因为有损压缩方法，尤其是在低的位速条件下将会带来压缩失真。如医疗图像或者用于存档的扫描图像等这些有价值的内容的压缩也尽量选择无损压缩方法。有损方法非常适合于自然的图像，例如一些应用中的图像的微小损失是可以接受的(有时是无法感知的)，这样就可以大幅度地减小位速。利用奇异值分解进行图像压缩本质上就是对原始图像矩阵进行奇异值分解，选取前k个较大的奇异值及其对应的左右奇异矩阵来重构图像矩阵。用C表示原始图像矩阵，对C进行奇异值分解得到，其中奇异值按从大到小的顺序排列。如果从中选择k个大奇异值以及与这些奇异值对应的左奇异向量逼近原始图像，便可以使用共个数代替原来的个图像数据。这个被选择的新数据是矩阵C的前k个奇异值、左奇异矩阵U的前k列和右奇异矩阵V的前k列元素。定义 （4.3）为图像的压缩比。要达到图像压缩的目的，显然要满足即 （4.4）因此在传送图像的过程中，就不用再传送原始图像矩阵的个数据，只需要传送个有关奇异值和奇异矩阵的数据。在接收端，将接收到的奇异值、奇异向量按截尾的奇异值分解公式 （4.5）即可重构出原始图像。4.2奇异值分解的图像性质每一个矩阵的奇异值是唯一的，它将矩阵数据的特征和分布很明显地算了出来。矩阵的奇异值分解可以这样理解：将当做一种线性变换，它将m维空间的点映射到了n维的空间。通过奇异值分解，被分割成三部分，分别为U、和V。A为数字图像，可视为二维时频信息，可以将A的奇异值分解公式写成 （4.6）其中和分别为U和V的列向量，为A的非零奇异值，因此上述公式所表示的数字图像A可以看成是n个秩为1的子图的相加的结果，奇异值为权系数。所以Ai也表示时频信息，对应的和可分别视为频率矢量和时间矢量，则数字图像A中的视频信息就被分解到一系列由和构成的视频平面中。由矩阵范数理论可知，奇异值能与向量2-范数和矩阵F-范数相联系。 （4.7） （4.8）若以F-范数的平方表示图像的能量，则由矩阵的奇异值分解可得 （4.9）综上可知，数字图像A的纹理和几何意义上的信息大都集中在U、中，而中的奇异值通常代表了图像的能量信息。性质1：矩阵的奇异值代表了图像的能量信息，因此具有很高的稳定性。设，，是矩阵A一个扰动矩阵，A和B的非零奇异值分别记为：和，且，是中最大的一个，则有 （4.10）通过上面阐述可知，图像在被小的扰动所干扰的时候扰动矩阵的最大奇异值一般情况下都大于图像矩阵奇异值的变换，因此图像奇异值的稳定性很强。性质2：矩阵的奇异值具有比例不变性。设，矩阵A的奇异值为，，矩阵kA的奇异值为则有 （4.11）性质3：矩阵的奇异值具有旋转不变性。设，矩阵A的奇异值为，。

如果是酉矩阵，则矩阵的奇异值与矩阵A的奇异值相同。性质4：设，，若，则 （4.12）所以，可以由此得到 （4.13）由式（4.13）可以得出，在F-范数意义下，是在空间中的将秩最佳逼近。那么，可以根据需要保留s个大于某个阈值而舍弃其余个小于阈值的且保证两幅图像在某种意义下的近似，而这就是奇异值特征矢量的降维和数据压缩的理论基础。4.3应用实例及结果展示了解奇异值分解在图像压缩中的应用原理之后，就可以进行实际操作。首先，将一张图片转化成数字矩阵，然后分析它的奇异值分布情况，得到下面图1（详细说明。图1原始图像的奇异值分布情况由图1可以看出，原始图像数字矩阵较大的奇异值大多分布在之前，也就是说，k增加到200以后，对图像重构的效果已经没有多大改善了。图2是选取了几个不同大小的k值，来比较k值大小对图像重构的影响。图2中（a）是选取k=10个奇异值时的重构图像，可以看到图像时非常模糊的，图像的重构效果并不是很好。图2（b）是选取了50个奇异值时的重构图像，能看出图像比（a）要清晰很多，但还是有一些模糊。图2（c）是选取了k=100个奇异值时的重构图像，能看到这时的图像已经基本清晰了。图2（d）是选取了k=200个奇异值时的重构图像，此时的图像已经基本接近原图的清晰度了。图2（e）是选取了k=300个奇异值时的重构图像，此时的图像相比起（d）来说就没有多大的差别了。图2（f）是原始图像。从上面的实验结果来看，当选取的k值很小时，对图像重构的结果帮助不是很大，重构的图像效果也很不理想。随着k值慢慢增大，重构的图像越来越接近原图，效果越来越好。但是当k值增大到一定数值的时候，再继续增大k值，对重构图像的效果只有微小的提升了，因此，在实际的图像压缩过程中，要根据实际情况选取合适的k值，使压缩比最大，避免因数值太小造成重构效果不好，图像过于模糊，也不要选取太大的数值，造成程序不必要的负担。本章小结

5.结论本文介绍了矩阵的三种分解方法，首先介绍了矩阵的LU分解、QR分解和奇异值分解的基本原理和常用结论，然后举例说明了三种不同方法在理论研究上的应用，通过研究发现，LU分解简便快捷，当解多个系数矩阵为A的线性方程组时，具有优越性，只要做一次矩阵分解，后面只要解三角形方程即可，但是要求必须是方阵，而且需要有可逆条件，普适性较低；QR分解速度是最快的，对于机器来说是一种负担相对小一些的计算方法，而且相比于LU分解，QR分解将矩阵分解进行了一步推广，即非方阵的矩阵也可以使用QR分解方法进行分解，但是QR分解相对来说没有那么稳定，当矩阵数据过多或者结构复杂时，容易出现问题；相比于前两种分解方法来说，奇异值分解是目前求解最小二乘法最好的矩阵分解方法，普适性强于LU分解，又比QR分解要稳定，速度也比较快，可以说是比较理想的一种算法。三种算法各有优劣，可以根据具体的情况来选择不同的分解方法。后面将奇异值分解应