工科数学分析上学期期末考试卷AB卷及答案3套

《工科数学分析（一））》试卷第6页共6页姓名学号姓名学号学院专业班级座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…2021-2022本科生期末考试《工科数学分析》2021-2022学年第一学期期末考试试卷（A）卷注意事项：1.开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷4.本试卷共5个大题，满分100分， 考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）得分极限；设有拐点，且在处有极大值，则，，；设，则；设是的一个原函数，且连续，则；得分反常积分。得分二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分）1.求极限。解：利用得到…….2分原式=………….6分………….8分2.求不定积分。解:………….2分………….4分………….6分解得………….8分3.计算定积分。解:令,原式=………….2分………….4分………….7分解得………….8分得分得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）1.设，证明收敛，并求其极限。证明:(1)时,,即单调减少;………….3分(2)时,,即有下界,………….6分从而收敛.设,(3)在等号两边取极限,则得到,从而故,………….8分2.求函数的单调区间，极值以及拐点（要求列表）。解:(1)函数的定义域为:.(2)令,得到,令,得到…………2分(3)列表如下…………6分拐点极小值（4）的单调增区间是：，单调减区间是：，。极小值，拐点：。………….8分3.设曲线方程为求。解：………….4分………….8分4.求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕旋转而成的立体的体积。解：………….3分………….7分………….8分得分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）得分1.设在内二阶可导，且。证明：，使得。证明：（1）对分别在和上用Lagrange中值定理，结合，得到，至少，使得…………6分（2）对在上再用Lagrange中值定理，得到，至少，使得…………10分2.设函数，且存在，证明：在上一致连续。证明：（1）设，则，不妨设，当时，有，从而，,有。………3分（2）由在上连续，则，利用Kangtor定理，知道在上一致连续，从而，对上述，不妨设，，当时，有。………6分（3），当时，要么，要么，从而都有，故，在上一致连续。………10分得分得分五、应用题（本题9分）要生产一种容积为的圆柱体有盖罐头盒，问怎样设计罐头盒的尺寸可使用料最省？解：（1）设底圆半径为，高为，则，问题归为求在区间上的最小值。…………4分（2）令，…………6分得到唯一临界点：，…………8分又根据实际意义，所求的最小值存在，从而罐头盒的底圆半径为，高为时，用料最省。…………9分姓名学号姓名学号学院专业班级座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…2021-2022本科生期末考试《工科数学分析》2021-2022学年第一学期期末考试试卷（B）卷注意事项：1.开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷4.本试卷共五个大题，满分100分， 考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分得分评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）极限；设在区间上，，则的从小到大的严格不等式的顺序是：；设，则；由及轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的立体的体积为；得分反常积分。得分二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分）1.求极限。解：………….5分…………8分2.求不定积分。解：………….4分………….6分…………8分3.计算定积分。解：令…………2分…………5分…………6分所以，…………8分得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）得分1.设数列重根式，证明数列收敛，并求其极限。证明:(1)显然单调增加;………….3分(2)时,,用归纳法可证：即有上界,………….6分从而收敛.设,(3)在等号两边取极限,则得到,从而故,………….8分2.求函数的单调区间，极值以及拐点（要求列表）。解:(1)函数的定义域为:.(2)令,得到,令,得到…………3分(3)列表如下…………6分极大值拐点（4）的单调增区间是：，单调减区间是：。极小值，拐点：。………….8分3.设曲线的方程为，求。解：………….5分………….7分………….8分4.求心形线围成图形的面积。解：根据对称性，所求的面积为极轴上方的两倍。………….3分…………6分………….8分得分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）得分1.证明：当时，。证明：利用…………6分其中时，，则，故…………10分2.证明：函数在上一致连续。证明：，，，有………8分故，在上一致连续。………10分得分得分五、应用题（本题9分）在椭圆中，嵌入有最大面积而边平行于椭圆轴的矩形，求此矩形的边长。解：（1）设矩形边长为，则，问题归为求在区间上的最大值。…………4分（2）令，…………6分得到唯一临界点：，…………8分又根据实际意义，所求的最大值存在，从而取最大面积的矩形的边长为。…………9分姓名学号姓名学号学院专业班级座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…2021-2022本科生期末考试《工科数学分析》第一学期期末考试试卷（c）卷注意事项：1.开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷4.本试卷共5个大题，满分100分， 考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）得分设在连续，则；设对任意都满足等式，且，其中为非零常数，则；设，则；或；得分反常积分.得分二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分）1.求极限，其中在的邻域内连续，且.解：令，……2分则……4分 ……6分……8分2.求不定积分.解：……3分……6分……8分3.计算定积分.解：令，……2分则……6分……8分得分得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）1.设，证明收敛，并求其极限.证明:,即有上界.……3分,即单调增加,……6分结合(1),利用单调有界收敛性定理知道,收敛.(3)设，在等式两边取极限，得到,则，（舍去）。故.……8分2.设曲线方程为，求.解:……4分……6分……8分3.求函数的单调区间，极值以及上凸，下凸区间和拐点（要求列表）.解:的定义域为.令,得到,令,得到……2分(3)列表拐点极大值拐点……6分(4)函数的单调增区间是:,单调减区间是:;函数的极大值为;无极小值。函数的上凸区间为：，下凸区间为：，。函数的拐点为:,.……8分4.求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解:(1)面积……3分……4分(2)绕轴旋转一周而成的立体的体积……7分……8分（2）另解：……7分……8分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分）1.证明：当时，.证明：方法一：令，则，……4分利用Taylor公式，……8分则所以，当时，.。……10分方法二：（1）设，则……4分（2）因为时，所以利用严格单调性烦人判定法，知道，在上严格单调减少，从而时，。……8分（3）同理，由于，则在上严格单调减少，从而时，，即。……10分2.证明：函数在上一致连续，但在上不一致连续.证明：（1）由于在上连续，利用Contor定