离散数学课件第五章

第五章函数

§1函数的概念

§2特殊函数§3函数的复合和逆函数

§1函数的概念１．函数的定义《定义》设A和B是任意两个集合，f是A→B的一个二元关系，若对于任意x∈A，集合B都存在唯一的

元素y

，使得<x,y>∈f

，则称二元关系f为函数（映射）,并记为：f：A→B。（2）二元关系f为集合A→B上的函数，则函数f的定义域为：（3）对任意，其函数值f(x)是唯一的（4）函数f的值域：讨论定义：（1）若<x,y>∈f，则称x为自变量，y称作函数f在x点处的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈f。

例：判定下列关系是否为函数是函数

不是函数

值不是唯一的不是函数

例：设X=Y=R（实数）这不是函数这是函数《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D，或

函数f和g是相等的

。都有f(x)=g(x)，则称并对所有的2．函数相等２．函数的构成例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则每个子集对应一个二元关系，因此在集合X→Y上可以产生64个二元关系。中，有

个子集。但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。这8个函数为：讨论：（1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f:X→Y中都是m个序偶的集合；（即序偶个数=定义域的基数）

（2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个，则从集合X-Y的所有函数个数为：§2特殊函数1.几种特殊函数《定义》：给定函数f:X→Y，如果值域Rf=Y

则称f为满射函数。

满射函数一定有：

(1)|X|≥|Y|(2)Rf=Y入射函数满足：

《定义》：给定f:X→Y，如果有或者：则称f是入射函数。(1)|X|≤|Y|(2)Rf⊆Y

双射函数满足：例：在全班同学的集合中，设：X={学号}，Y={姓名}

则：f:X→Y是一双射函数（学号和姓名的关系）《定义》：给定函数f:X→Y，如果f既是满射函数，又是入射函数，则称f为双射函数。

(1)|X|=|Y|(2)Rf=Y§3函数的复合和逆函数例：定义一函数f如右图所示，则

现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？设的定义域不是Y，而是Y的子集不满足函数定义中值是唯一的条件是一种二元关系，而不是函数（3）只有双射函数存在逆函数.为了和逆关系相区别，函数f的“逆函数”用来表示

《定理》：如果f:X→Y是双射函数，则：

也为双射函数。《定义》：设是一双射函数，称为f的逆函数。《定义》：设f:X→Y和g:W→Z是二个函数，若则：称g在函数f的左边可复合。讨论定义：

两个函数的复合可以形成一个新的函数。

例：sin(cosx)，先求cosx，然后求sin(cosx)例：设X={1,2,3},Y={p,q},Z={a,b}f:X→Y={<1,p><2,p><3,q>}g:Y→Z={<p,b><q,b>} 是X→Z的函数则：∴函数的复合运算不满足交换律。《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h均为函数，则有：证明：∵二元关系的复合是满足结合律的，而函数也是一种二元关系，∴函数的复合也是满足结合律。例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数解：《定理》：设f:X→Y，g:Y→Z，是一合成函数，则：(1)如果f和g都是满射函数，则也是满射函数；(2)如果f和g都是入射函数，则也是入射函数；

(3)如果f和g都是双射函数，则也是双射函数。是任意的，

也是入射函数。可用同样的方法证明（1）和（3）证明：（2）设任一∵f为入射函数，∴又∵g为入射函数,且

即

例：设是负整数集合，定义二个双射函数f和g，f(x)=-x={<-1,1><-2,2>…}，g(x)=x-1={<1,0><2,1>…}，是一双射函数。《定义》：给定f:X→Y，如果对于所有的和某一个y∈Y,

有f(x)=y，则称f为常函数。例：《定义》：给定，若对所有的有

，即

则称

为恒等函数。例：《定理》：对于任何函数f:X→Y，其中

是X→X的恒等函数，是Y→Y的恒等函数，则有

XXYY《定理》：如果函数f:X→Y有逆函数

则

且

证明：设任一

，则

此定理说明：可用双射函数f和

的复合来生成恒等函数。《定理》：若f是一双射函数，则证明：设任一

则∴<x,y>∈(f-1)-1∴f⊆(f-1)-1同理可证(f-1)-1⊆f∴(f-1)-1=

f证明：由给定条件f,g均为双射函数,则均为双射函数设任一则y=f(x)，z=g