21.2.4一元二次方程的解法四因式分解法分层练习解析版

21.2.4一元二次方程的解法（四）因式分解法分层练习基础篇基础篇一、单选题：1．方程的两个根为（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：，解得故答案为：D．

【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。2．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0【答案】A【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．所以第一个正确．故答案为：A【分析】用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程。3．解方程，较简便的方法是（）A．因式分解法 B．配方法C．公式法 D．以上三种方法都简便【答案】A【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：，，或，故答案为：A．【分析】根据题目的结构特点，提取公因式x＋5可以进行因式分解法解方程．4．用因式分解法把方程分解成两个一次方程，正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：根据题意得，，∴，∴或．故答案为：C【分析】先求出，再利用因式分解法求解即可。5．若关于的一元二次方程有一根为0，则的的值为（）A．2 B．-1 C．2或-1 D．1或-2【答案】A【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0是一元二次方程，

∴m+1≠0，

∴m≠-1，

∵x=0是方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的解，

∴m2-m-2=0，

∴（m-2）（m+1）=0，

∴m=2或m=-1，

∴m=2.

故答案为：A.

【分析】根据一元二次方程的定义得出m≠-1，再把x=0代入方程得出m2-m-2=0，得出m=2或m=-1，即可得出m=2.6．关于x的一元二次方程的常数项是0，则m的值（）A．1 B．1或2 C．2 D．【答案】C【知识点】一元二次方程的定义及相关的量【解析】【解答】∵关于的一元二次方程的常数项是0，∴，解得：.故答案为：C【分析】根据一元二次方程的定义，二次项的系数不能为0，又此方程常数项为0，故得出混合组，求解得出m的值。二、填空题：7．一元二次方程的解是【答案】x1=-2，x2=4【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】∵，∴(x+2)(x-4)=0,∴x+2=0,x-4=0,∴x1=-2，x2=4.

【分析】本题考察的重点是十字相乘法解一元二次方程。-8分成-4和2即可。8．方程2（1-x）2=3（x-1）的解是．【答案】x1=1，x2=【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程2（1-x）2=3（x-1），移项得：2（1-x）2-3（x-1）=0，变形得：2（x-1）2-3（x-1）=0，因式分解得：（x-1）[2（x-1）-3]=0，即（x-1）（2x-5）=0，解得：x1=1，x2=．故答案为：x1=1，x2=【分析】观察原方程，移项后可提公因式（x-1），将方程左边分解因式求解。9．已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m=．【答案】1【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，（x-3）（x+1）=0，∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，∴m=1，故答案为：1．【分析】利用十字相乘法求出方程化简为（x-3）（x+1）=0，即可得到m的值。三、解答题：10．用适当的方法求解：（1）（x+6）2﹣9=0；（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（3）（3﹣x）2+x2=9；（4）（x﹣1）2=（5﹣2x）2．【答案】（1）解：(x+6)2=9，∴x+6=±3∴x1=﹣3，x2=﹣9（2）解：2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0(x﹣3)(2x﹣6﹣x)=0(x﹣3)(x﹣6)=0，x1=3，x2=6（3）解：(3﹣x)2+x2=9展开得x2﹣3x=0，x(x﹣3)=0∴x1=0，x2=3（4）解：(x﹣1)2=(5﹣2x)2x﹣1=±(5﹣2x)即x1=2，x2=4【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解；

（2）利用因式分解法解方程，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；

（3）将方程整理成一般形式，然后左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解；

（4）利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，求解得出原方程的解。11．小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若不正确请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】解：小敏：两边同除以，得，则．（×）小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】

小敏：没有考虑x-3=0，解分式方程时如果方程两边同时除以含未知数的式子，容易丢根，要考虑这个式子为零时是否符合题意,；

小霞：思路正确，但是提公因式出现符号错误，当括号前是负号时，去掉括号时，括号里面的项都要变号。12．解方程：我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①②③④我选择第几个方程。【答案】解：我选第①个方程，解法如下：x2-4x-1=0，这里a=1，b=-4，c=-1，∵△=16+4=20，∴x==2±，则x1=2+，x2=2-；我选第②个方程，解法如下：x（2x+1）=8x-3，整理得：2x2-7x+3=0，分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，可得2x-1=0或x-3=0，解得：x1=，x2=3；我选第③个方程，解法如下：x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=9-4=5，∴x=，则x1=，x2=；我选第④个方程，解法如下：x2-9=4（x-3），变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，∴x-3=0或x+3-4=0，∴x1=3，x2=1【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）我选第①个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；

（2）我选第②个方程，解法如下：首先将方程整理成一般形式利用因式分解法解方程，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。

（3）我选第③个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；

（4）我选第④个方程，解法如下：利用因式分解法解方程，左边利用平方差公式分解因式，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。13．若关于x的一元二次方程有一个根是，求k的值及方程的另一根.【答案】解：∵x=1是x2﹣3x+k+2＝0的一个根，∴12-3×1+k+2=0，解得k=0，将k=0代入原方程得x2﹣3x+2＝0，∴解得x1=1，x2=2，∴k=0，方程的另一个根是x=2.【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】将x=1代入原方程中可求出k的值，进而得到关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法就可求出方程的另一根.14．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，求该直角三角形的面积．【答案】解：解方程得，，，当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为；当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为，直角三角形的面积为；答：直角三角形的面积为6或．【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理【解析】【分析】先利用十字相乘法求出方程的两根，再分两种情况利用勾股定理求出第三边，最后利用三角形的面积公式求解即可。提升篇提升篇1．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5【答案】C【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，

因式分解，可得(a-1)(a+5)=0，

∴a=1或a=-5（舍去），

∴x2-2x+1=1.

故答案为：C.

【分析】首先令x2-2x+1=a，则a≥0，原方程可化为a2+4a-5=0，然后对其因式分解就可得到a的值，最后进行取舍即可.2．矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（）A． B．12 C． D．或【答案】D【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的性质【解析】【解答】解：∵，∴（x-2）（x-5）=0，∴∴另一边长为=或=，∴矩形的面积为2×=或5×=5，故答案为：D．

【分析】利用矩形的性质，再根据因式分解法解一元二次方程即可。3．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定【答案】B【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0∴x1＝3，x2＝7．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是7，底边是3，周长为：7+7+3＝17．故答案为：B．【分析】先求出x1＝3，x2＝7，再求出腰长是7，底边是3，最后计算求解即可。4．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（）A．5 B．6 C．7.5 D．12【答案】B【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：x2﹣8x+15＝0，（x﹣3）（x﹣5）＝0，x﹣3＝0或x﹣5＝0，所以x1＝3，x2＝5，即三角形的两条边长分别3、5，而三角形的周长是12，所以第三边长为12-3-5=4，因为32+42＝52，所以此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积＝×3×4＝6．故答案为：B．【分析】先求出三角形的两条边长分别3、5，再利用三角形的面积公式计算求解即可。5．已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是．【答案】或【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，∴，∵x2+x﹣m＝0，∴，解得：或.故答案为：或.

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可。6．若，则代数式的值为.【答案】4【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程变形得:，可得或，解得：或(舍去)则的值是4.故答案为:4【分析】将方程左边进行因式分解可得，可得或，据此求出结论.7．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b=．【答案】2或-4【知识点】代数式求值；换元法解一元二次方程【解析】【解答】设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，所以a+b=2或﹣4，故答案为2或-4.【分析】用换元法解一元二次方程，设a+b=y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，然后利用十字相乘法将左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出答案。8．已知c为实数，并且方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，则方程x2+3x﹣c=0的解是．【答案】x1=0，x2=﹣3【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，因为﹣t为方程x2+3x﹣c=0的一个根，所以t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，解方程x2+3x=0得：x1=0，x2=﹣3．故答案为：x1=0，x2=﹣3【分析】根据方程根的概念，设方程x2﹣3x+c=0一个根为t，则t2﹣3t+c=0①，由于方程x2﹣3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣c=0的一个根，故将x=-t代入方程x2+3x﹣c=0得t2﹣3t﹣c=0②，由①②得：c=0，将c=0代入x2+3x﹣c=0，利用因式分解法即可求出方程的解。9．已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值【答案】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0①再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0②①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0解得m＝3或m＝0【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】设这两个方程的根分别为a和-a，得出a2-2016a+m2-3m＝0，a2-2016a-m2+3m＝0，两式相减得出2m2-6m＝0，解方程即可得出m的值,10．阅读下面的例题.解方程：.解：（1）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）.

（2）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）.∴原方程的解是，.请参照上述方法解方程.【答案】解：.（1）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）.（2）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）.故原方程的解是，.【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性【解析】【分析】当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解.11．如图7，已知平行四边形ABCD的周长是32cm，AB︰BC=5︰3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF=2∠C.（1）求∠C的度数；（2）已知DF的长是关于的方程--6