高中数学 综合检测 新人教A版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学综合检测新人教A版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列四个命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；④在推断H：“X与Y有关系”的论述中，用三维柱形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H成立的可能性就越大．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]①r有正负，应为|r|越大，相关性越强，②正确，③R2越大，拟合效果越好，④应为高度积的差的绝对值越大，H成立的可能性就越大，故选A.2．(·四川理，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10[答案]C[解析]x3的系数就是(1＋x)6中的第三项的系数，即Ceq\o\al(2,6)＝15.3．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为eq\f(2,3)，则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A．eq\f(8,27) B．eq\f(64,81)C．eq\f(4,9) D．eq\f(8,9)[答案]A[解析]设甲胜为事件A，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,3)，∵甲以3∶1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(2,3))2·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).4．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1、2、3、4)，其中a为常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)<X<\f(13,4)))的值为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,16)[答案]D[解析]因为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，所以a＝eq\f(5,4).因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)<X<\f(13,4)))＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,12)＝eq\f(5,16)，故选D.5．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率()A．(2,4] B．(0,2]C．[－2,0) D．(－4,4][答案]C[解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6．有6张卡片分别标有1、2、3、4、5、6，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，则不同的排法种数是()A．192 B．384C．432 D．448[答案]B[解析]将1、2、3、4、5、6中数字之和等于7的两个数字分成一组，记A＝{1,6}，B＝{2,5}，C＝{3,4}．依题意进行分步计数．第一步，排第一行的两个数字，先从A、B、C三组中选取2组(有Ceq\o\al(2,3)种选法)，再从每组中选取一个数(有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)种选法)，最后将这两个数排在第一行(有Aeq\o\al(2,2)种排法)，故第一行的排法种数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24种．第二步，排第2行，从A、B、C中第一次未选到的那一组中选取1数(有Ceq\o\al(1,2)种选法)，从第一次选取的两组中剩余的两数中选取一数(有Ceq\o\al(1,2)种选法)，将此二数排在第二行(有Aeq\o\al(2,2)种排法)，故第二行共有排法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8种．第三步，将余下两数排在第三行，有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法，由分步计数原理知，共有不同排法24×8×2＝384种．7．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r1[答案]C[解析]画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系数r2<0，故选C.8．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则eq\f(DX2,EX2)等于()A．p2 B．(1－p)2C．1－p D．以上都不对[答案]B[解析]因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以eq\f(DX2,EX2)＝eq\f([np1－p]2,np2)＝(1－p)2.故选B.9．(·大庆实验中学高二期中)把15个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是()A．56 B．72C．28 D．63[答案]C[解析]先给1号盒子放入1球，2号盒子放入2球，3号盒子放入3球，再将剩余9个小球排成一列，之间形成8个空档，从中任意选取2个空档用插板隔开，依次对应放入1、2、3号盒子中，则不同放法种数为Ceq\o\al(2,8)＝28种．10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表女男合计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？()A．99%的可能性 B．99.75%的可能性C．99.5%的可能性 D．97.5%的可能性[答案]C[解析]由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72，代入公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得K2＝eq\f(72×16×8－28×202,44×28×36×36)≈8.42，由于K2≈8.42>7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))[答案]B[解析]4个引擎飞机成功飞行的概率为Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4>p2，必有eq\f(1,3)<p<1.12．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种 B．460种C．480种 D．496种[答案]C[解析]涂A有6种涂法，B有5种，C有4种，因为D可与A同色，故D有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)[答案]0.49[解析]p＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(3,10)))＝eq\f(1,2)，E(X)＝1.1＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,10)x，解得x＝2，所以D(X)＝eq\f(1,5)×(0－1.1)2＋eq\f(1,2)×(1－1.1)2＋eq\f(3,10)×(2－1.1)2＝0.49.14．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组4人，分别进行单循环赛，每组决定前两名，再由每一组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，大师赛共有________场比赛．[答案]16[解析]分四类：第一类，进行单循环赛要2Ceq\o\al(2,4)＝2×eq\f(4×3,2)＝12场；第二类，进行淘汰赛需要2场；第三类，角逐冠、亚军需要比赛1场；第四类，角逐第三、四名需要比赛1场，所以大师赛共有2Ceq\o\al(2,4)＋2＋1＋1＝16场比赛．15．设随机变量ξ～N(1,4)，若P(ξ≥a＋b)＝P(ξ≤a－b)，则实数a的值为________________．[答案]1[解析]∵P(ξ≥a＋b)＝P(ξ≤a－b)，∴eq\f(a＋b＋a－b,2)＝1，∴a＝1.16．(·山东青岛质检)平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定________________条直线；共可确定________个三角形．[答案]36；110[解析]设10个点分别为A1、A2、…、A10，其中A1、A2、…、A5共线，Ai(i＝1,2，…，5)与A6、A7、…、A10分别确定5条直线，共25条；A1、A2、…、A5确定1条；A6、A7、…、A10确定Ceq\o\al(2,5)＝10条，故共可确定36条直线．在A1、A2、…、A5中任取两点，在A6、A7、…、A10中任取一点可构成Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5)＝50个三角形；在A1、A2、…、A5中任取一点，在A7、A7、…、A10中任取两点可构成Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,5)＝50个三角形；在A6、A7、…、A10中任取3点构成Ceq\o\al(3,5)＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人．(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析](1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(eq\r(x)－eq\f(1,2\r(x)))n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中所有整式项．[解析](1)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·(eq\r(x))n－r·(eq\f(1,2\r(x)))r·(－1)r，∴前三项系数的绝对值分别为Ceq\o\al(0,n)，eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，由题意知Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，∴n＝1＋eq\f(1,8)n(n－1)，n∈N*，解得n＝8或n＝1(舍去)，∴Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)·(eq\r(x))8－k·(－eq\f(1,2\r(x)))k＝Ceq\o\al(k,8)·(－eq\f(1,2))k·x4－k,0≤k≤8，令4－k＝0得k＝4，∴展开式中的常数项为T5＝Ceq\o\al(4,8)(－eq\f(1,2))4＝eq\f(35,8).(2)要使Tk＋1为整式项，需4－k为非负数，且0≤k≤8，∴k＝0,1,2,3,4.∴展开式中的整式项为：x4，－4x3,7x2，－7x，eq\f(35,8).19．(本题满分12分)(·湖北理，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？[解析](1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(700<X≤900)＝0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x、y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y依题意，x、y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y≤x＋7，,36x＋60y≥900，,x，y≥0，x，y∈N.))且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距eq\f(z,2400)最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．20．(本题满分12分)(·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙090156877328012566898422107135987766578988775(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))[解析](1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有Ceq\o\al(2,5)＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝7个，所以P＝eq\f(7,10).(2)甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040K2＝eq\f(40×6×6－14×142,20×20×20×20)＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21．(本题满分12分)(·福建理，16)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq\f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq\f(2,5)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析](1)由已知得，小明中奖的概率为eq\f(2,3)，小红中奖的概率为eq\f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(2,5)，P(X＝3)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(11,15)，即这2人的累计得分X≤3的概率为eq\f(11,15).(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1、X2的分布列如下：X1024Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(4,9)X2036Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)所以E(X1)＝0×eq\f(1,9)＋2×eq\f(4,9)＋4×eq\f(4,9)＝eq\f(8,3)，E(X2)＝0×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋6×eq\f(4,25)＝eq\f(12,5).因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分14分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635[分析](1)根据频率分布直方图及条件超过40分钟的观众称为“体育迷”则可求出体育迷人数25人，即可完成2×2列联表，再求出K2即可．(2)由(1)知体育迷有25人，则被抽到的概率为eq\f(1,4)，从观众中随机抽出3名是3次独立重复试验，X服从二项分布，则可以求出分布列，期望，方差．[解析](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率eq\f(1,4).由题意知X～B(3，eq\f(1,4))，从而X的分布列为X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).1．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是()A．1 B．－1C．0 D．2[答案]A[解析]令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋eq\r(3))4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋eq\r(3))4.所以，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋eq\r(3))4(－2＋eq\r(3))4＝1.2．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于()A．Ceq\o\al(10,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))2 B．Ceq\o\al(9,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))2eq\f(3,8)C．Ceq\o\al(9,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))2 D．Ceq\o\al(9,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))2[答案]D[解析]“X＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，∴P(X＝12)＝Ceq\o\al(9,11)(eq\f(3,8))9·(eq\f(5,8))2·eq\f(3,8)＝Ceq\o\al(9,11)(eq\f(3,8))10·(eq\f(5,8))2，故选D.3．如图，将1、2、3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有()123312231A.6种 B．12种C．24种 D．48种[答案]B[解析]第一步，将1、2、3排在第一行，共Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，对于每一种排法，第二行，都对应2种排法，第三行，有唯一一种排法，∴共有12种．4．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[29.98,30.02)频数126386182分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14)频数92614乙厂分组[29.86,29.90)[29.90,29.94)[29.94,29.98)[29.98,30.02)频数297185159分组[30.02,30.06)[30.06,30.10)[30.10,30.14)频数766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：K