《工程流体力学》第4章 流体运动学

工程流体力学

第四章流体运动学流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力学因素。研究流体运动的方法一、拉格朗日法（LagrangeMethod)拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动规律，参见图。§4-1描述流体运动的两种方法拉格朗日法以某时刻

t0各质点的坐标位置a，b，c为其标志。因此，t时刻各质点的位置可表示为式中，改变a，b，c意味着改变了不同的研究质点。a，b，c称为拉格朗日变数。由此，某时刻t流体质点的速度和加速度可表示为§4-1描述流体运动的两种方法由上述可见，采用拉格朗日法无疑是复杂和困难的。目前，采用此方法的仅限于浅水波理论、波浪研究等极少领域。二、欧拉法（EulerMethod）欧拉法又称局部法。殴拉法广泛应用于流体力学的研究中。殴拉法研究某时刻位于流场中不同空间点的流体质点的运动规律，综合所有的空间点得到整个流场的运动规律。参见图。§4-1描述流体运动的两种方法采用欧拉，某时刻空间点速度可表示为式中x，y，z称为欧拉变数。§4-1描述流体运动的两种方法流体质点某时刻t位于（x，y，z）点的加速度表示为或简记为此加速度表达式称为质点导数。它由两部分组成：速度随时间的变化率，称为时变加速度或当地加速度（LocalAcceleration）；速度随位置的变化率，称为位变加速度或迁移加速度（ConnectiveAcceleration）。§4-1描述流体运动的两种方法2、流线（StreamLine）（1）流线的定义：流线是某瞬时在流场中作出的一条空间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在该点相切,（如图示）。一、迹线与流线1、迹线（PathLine）迹线指流体质点运动的轨迹，如图所示。其方程为§4-2描述流体运动的基本概念

（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可在该瞬时作A点速度；在上靠近A点找点2，并在同一时刻作2点速度；再在上靠近2点找点3，也在同一时刻作速度；依次作到N点，得到折线A-2-3-…-N，当各点无限靠近时得到的光滑曲线即为流线。（3）特性：a恒定流动中，流线和迹线重合；b流线不能相交；c流线不能突然折转。§4-2描述流体运动的基本概念

(4)流线的方程：如图示某瞬时在过M点流线上取：、、；M点的速度：、、。由流线定义，即，同理可得该式为流线的微分方程。§4-2描述流体运动的基本概念二、定常流与非定常流1、定常流（SteadyFlow）恒定流动又称为定常流动。指流场中各空间点上的运动参数不随时间变化，只是坐标的函数。如

见图所示。恒定流动中有§4-2描述流体运动的基本概念2、非定常流（UnsteadyFlow）非恒定流动又称为非定常流动。指流场中各空间点上的运动参数（全部或个别）随时间变化。如图所示，一个水桶下部开有小孔，桶内的水流不断向外流出，桶中的水位不断下降，导致各点的水压、水流流速逐渐变化，因此，桶内各点的运动参数随时间变化。有：§4-2描述流体运动的基本概念三、流管、流束、流量与平均速度

流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状曲面，见图。

流束：流管内所有流线的集合为流束。

微小流束：断面积无限小的流束。

总流：无数流束的总和。注：（1）流束表面没有流体穿越；

（2）在微小流束断面上，运动参数各点相同；

（3）微小流束的极限是流线。§4-2描述流体运动的基本概念过流断面：流束或总流中，与所有流线正交的面，也称为有效断面，如图示。可以为平面或曲面。湿周：过流断面上，与固壁接触的边长，记为。

水力半径：流束或总流有效断面面积与湿周的比，记为R，即

当量直径：流束或总流4倍有效断面面积与湿周的比，记为De，即§4-2描述流体运动的基本概念常见断面的，R，De见图示。§4-2描述流体运动的基本概念

流量：单位时间内流过过流断面的流体量。当流体量以质量表示时，为质量流量，以标记；以体积表示为体积流量，以标记，可表示为断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有

对任一点有§4-2描述流体运动的基本概念四、一、二、三元流动

一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。一元流动（One-dimensionalFlow）：流体的运动参数只是一个坐标的函数，如，见图。§4-2描述流体运动的基本概念二元流动（Two-dimensionalFlow）：流体的运动参数为两个坐标的函数，如，见图。三元流动（Three-dimensionalFlow）：流体的运动参数为三个坐标的函数，如显然，通常的流动都为三元流动，二元、一元流动是简化的流动模型。§4-2描述流体运动的基本概念五、均匀流、急变流与渐变流在流场中，如果任一确定流体质点在运动过程中速度保持不变（大小和方向均不变），则将这样的流动称为均匀流。均匀流具有下列性质：①各质点的流速相互平行，过流断面为一平面；②位于同一流线上的各个质点速度相等；③沿流程各过流断面上流速剖面相同，因而平均速度相等，但在同一过流断面上各点处的速度可以不同；④可以证明，过流断面上压强服从静压强分布规律，即同一过流断面上各点的测压管水头相等。§4-2描述流体运动的基本概念如果流体质点在运动过程中速度大小或方向发生明显变化，这样的流动称为急变流。在实际工程中，有些流动虽然不属于严格意义上的均匀流，但是流体质点的速度变化比较缓慢（例如渐扩管或渐缩管中的流动），这样的流动称为渐变流。渐变流中的流线近乎平行直线，过流断面也可以近似看成平面。上述性质④可以推广至渐变流断面。§4-2描述流体运动的基本概念例一已知流速场为其中c为常数，求流线方程。解由式得积分得：则：此外，由得

因此，流线为xoy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（c＞0时）或平面点汇流动（c＜0时）。§4-2描述流体运动的基本概念例二已知某平面流场流速分布为求其流线和迹线方程。解由流线方程得积分得整理得流线式中常数由迹线方程积分得整理得迹线方程§4-2描述流体运动的基本概念例三某平面流场速度分布为试求在时过点的流线和迹线方程。解将速度代入流线微分方程积分得即由时过点得，所求流线方程为可知流线为双曲线。由迹线微分方程得此方程通解为§4-2描述流体运动的基本概念由时可得，于是迹线方程为消去得可见在非恒定流动中迹线为直线。若流动恒定，则流速为。可求得流线方程仍为。由迹线方程得即积分得由过点得得迹线方程为可以看出，当流动恒定时流线和迹线重合。§4-2描述流体运动的基本概念

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达形式。一、微小流束的连续性方程在不可压缩（密度ρ保持不变）一元恒定流场中取一微元流束，如图。由dt时间内流入、流出dA1、dA2流体相等可得即此式即为不可压缩流体的连续性方程

§4-3连续性方程不难证明，沿任一元流，上述各方程也成立。即：可压缩时：§4-3连续性方程不可压缩时：式(4-21)式(4-22)由于断面1、2是任意选取的，上述关系可以推广至全部流动的各个断面。即

流体微团的运动比刚体和固体复杂得多，它通常由平移，旋转和变形三部分组成。

柯西—亥姆霍兹（Cauchy-Helmholts）定理：一般情况下流体微团的运动可分解为，随同极点的平移、对于通过该极点瞬时轴的旋转和变形运动。证明：取平行六面体如图示，以A为极点，分析M点的运动。两点速度如图示。§4-4流体运动的分解

取单位厚度微团ABCD，将三维简化为二维来分析，其各点速度如图（A、B、C、D）所示。1、随极点平移：各点均有速度、。因此，dt时间内都随极点A平移了、的距离。

M点的速度可表示为§4-4流体运动的分解

2、线变形运动：由速度分布不难看出，dt时间内，B、D二点较A点沿坐标方向将产生和的线变形。依次可推得，微团上各点对于极点A都将存在线变形运动。3、角变形和旋转运动：图示经dt时间B相对A在Z方向移动D相对与A在y方向移动AB、AD转过的角度为§4-4流体运动的分解

规定以∠BAD平分线的转动程度来确定微团的旋转运动，以∠BAD大小的变化来度量流体微团的角变形。

一般情况下可取图示来分析，则由x方向看的角分线转角为

可得旋转角速度为

推广到三维空间可得流体微团旋转角速度为即§4-4流体运动的分解

流体微团角变形速度定义为

推广到三维空间可得

§4-4流体运动的分解

由上式可以看出，流体微团的运动由三部分组成：随极点的平移运动（式右第一项），变形运动（式右第二项，线变形加角变形）和旋转运动（式右第三项）。

柯西-亥姆霍兹定理证毕。由以上分析，可将平行六面体M点的速度推求得§4-4流体运动的分解注：有旋运动和无旋运动

当流场中流体微团旋转角速度或时，为有旋运动，如图示。

若或则为无旋运动，