《工程流体力学》第5章 流体动力学

工程流体力学

第五章流体动力学§5-1雷诺输运定理一、雷诺实验1883年英国科学家雷诺(Reynolds)通过实验研究，发现流体有两种不同的流动状态，即层流和紊流。当管中水流速度较小时，染色水在玻璃管中保持一条直线，不与周围的水相混，这说明流体只做轴向运动，而无横向运动，此时水在管中分层运动，各层间互不干扰、互不相混，这种流动状态称为层流。§5-1雷诺输运定理当管中水流速度达到某一数值时，水线开始呈波纹状，流体质点出现了与轴向垂直的横向运动，流体的运动不再只是层状流动，开始跃层运动，这种状态称为过渡状态。管中流速增大到一定程度，染色水线在管中剧烈波动、断裂并混杂在许多小旋涡中，随机地充满整个管子截面，此时管中流体质点在向前流动时，处于完全无规则的乱流状态，这种流动状态称为紊流。§5-1雷诺输运定理二、临界雷诺数管中流动呈何种流态，除了与流体的平均流速有关外，还与管径d、流体的密度ρ、粘度μ等因素有关：式中的Re称为雷诺数。上式说明雷诺数与平均速度和管径成正比，与流体的运动粘度成反比。如果管径及流体运动粘度一定，则雷诺数只随平均速度变化。实验中发现流体由紊流转变为层流时的平均流速与由层流转变为紊流时的平均流速不同。这两个流速分别称为下临界流速

和上临界流速，相应的雷诺数分别称为下临界雷诺数Rec。及上临界雷诺数Rec’，即§5-1雷诺输运定理二、临界雷诺数雷诺通过实验测得上临界雷诺数为大于4,000的不确定量，其数值受外界扰动的影响而发生变化，下临界雷诺数为2,000。通常:属紊流流动属层流流动属不稳定状态，可能是层流也可能是紊流在实际工程上为简化分析起见，对于圆管中流动一般认为，当时流动为紊流，当时流动为层流。而对理想流体，不存在粘性应力，也没有层流、紊流的概念，讨论雷诺数是无意义的。§5-1雷诺输运定理三、雷诺运输方程设在某时刻的流场中，单位体积流体的物理量分布函数值为，则t时刻在流体域τ上的流体所具有的总物理量为I(t)，即设t时刻体积在空间τ(t)的位置上，在t+△t时刻该体积到达另一位置τ(t+△t)，如图所示。由导数定义:式中为:§5-1雷诺输运定理现将τ(t+△t)分为两部分，即与τ(t)重合的部分τ2和τ(t+△t)新占有的区域部分τ1，又设从τ(t)空出区域部分为τ3，故有式中，τ2+τ3即为体积τ，于是相应的体积分为因此有：式(5-10)§5-1雷诺输运定理式(5-10)等号右侧3项分别有：将上述3式带入式(5-10)得：此式表明，某时刻一可变体积上系统总物理量对时间的变化率，等于该时刻所在空间域(控制体)中物理量的时间变化率以及单位时间通过该空间域边界净输运的流体物理量之和，这就是著名的雷诺(Reynolds)输运定理，又称作雷诺运输方程。§5-2连续方程的微分和积分形式一、连续方程的积分形式根据质量守恒定律，体系内流体的质量在流动过程中不随时间而变化，则适用的连续方程为利用雷诺运输公式，可把式变成如下形式这就是适用于控制体的积分形式的连续方程，它说明控制体内流体质量的增加率等于通过控制面A进出的流体净流入率。对于定常流，由于，则连续方程变为或或式(5-18)对于一维定常流动，式(5-18)可写为或式(5-17)§5-2连续方程的微分和积分形式二、连续方程的微分形式利用高斯散度定理把方程式(5-17)中的面积分项改写为体积分项，即式(5-20)把式(5-20)代入(5-17)，于是有由于积分体积τ是任意取的，且假定被积函数连续，因此，只有当括号内的值处处为零时，积分才可能为零。于是就得到微分形式的连续方程，即式(5-22)将式(5-22)中项展开，则式(5-23)§5-2连续方程的微分和积分形式将式(5-23)代入式(5-22)，有因为则有这是另一种形式的微分形式连续方程，它与方程式(5-22)完全等价。对于可压缩流体的定常流动，微分形式的连续方程为对于不可压缩流体，因为，则有连续方程这说明不可压缩流体在流动过程中速度V的散度，即体积膨胀率处处为零。§5-3动量方程的微分和积分形式一、动量方程的积分形式对于某瞬时占据空间固定体积τ的流体所构成的体系，由牛顿运动第二定律可知，体系的动量随时间的变化率等于作用在该体系上所有外力的合力，即利用雷诺输运公式，则式(5-29)可写为式(5-29)

式(5-30)式(a)§5-3动量方程的微分和积分形式

式(b)负号表示压强方向与表面外法线方向相反。将式(a)与式(b)代入式(5-30)，则有对于支教坐标系，其三个分量形式为对于定常流，式(5-31a)变为式(5-31a)式(5-31b)§5-3动量方程的微分和积分形式二、动量方程的微分形式为了得到无粘流体的微分形式的动量方程，可采用高斯定理，把积分形式的动量方程式(5-31a)中的面积分转换成体积分，于是压力项变为式(5-35)动量通量项变为则式(5-31a)左端变为§5-3动量方程的微分和积分形式式(5-35)代入式(5-31a)，便有式(5-38a)因为τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此可知，被积函数恒为零，即或这就是理想流体的微分形式的动量方程，又称为欧拉运动微分方程。令Π代表粘性应力张量，可以推出粘性流体的动量方程为或式(5-38b)式(5-37a)式(5-37b)§5-3动量方程的微分和积分形式对于无粘气体，可以忽略质量力，即R=0，代入式(5-38a)于是有对于定常流动，从式(5-37a)则有上述矢量形式的欧拉运动微分方程也可改写成直角坐标系或其他坐标系中的相应形式。式(5-39)式(5-40)§5-4能量方程的微分和积分形式能量方程是热力学第一定律应用于流动流体时的数学表达式。对于某瞬间占据空间体积τ的流体所构成的体系，热力学第一定律可表述如下：单位时内外界传给体系的热量等于体系所储存的总能量的增加率加上体系对外界输出的功率，即

§5-4能量方程的微分和积分形式体系所储存的总能量包括内能和动能，以e代表单位质量流体的总内能(又称为广义内能)

则整个体系所具有的总内能E为§5-4能量方程的微分和积分形式由于外力有质量力和表面力，故体系对外界所做的功也可分为克服质量力和表面力所做的功两种。规定体系对外界做功取正值，外界对体系做功取负值。设单位质量流体所受的质量力为R，则单位时间作用于体系上的质量力对体系所做的功为这里所研究的是理想流体，不存在粘性剪切力，因而克服粘性剪切力所做的功为零。因此，表面力所做的功可以表示成积分号前未加负号是因为它是表示体系对外界所做的功，按规定应为正。则体系的能量方程可以写成式(5-43)§5-4能量方程的微分和积分形式一、能量方程的积分形式根据雷诺输运公式，则式(5-43)中控制体内流体所储存的能量随时间的变化率项可以写成

式(5-46)§5-4能量方程的微分和积分形式

把上面所得到的有关关系式代入式(5-43)，整理后得到把面积分项加以合并，则有式(5-49)这就是适用于控制体的积分形式能量方程式。方程式中的面积分项的积分面积A是指整个控制表面。§5-4能量方程的微分和积分形式

式(5-51)§5-4能量方程的微分和积分形式考虑到固体表面上不会产生流体的流进和流出。因此可以把上式写成

式(5-53a)式(5-52)式(5-54a)§5-4能量方程的微分和积分形式

式(5-53b)式(5-54b)§5-4能量方程的微分和积分形式二、能量方程的微分形式为了得到微分形式的能量方程，利用高斯定理把适用于控制体的积分形式能量方程式(5-53a)中的面积分项改成体积分项，即这时能量方程式(5-53a)变成

式(5-57)§5-4能量方程的微分和积分形式由于积分体积τ是任意取的，且假定积分号内的各参数都是连续的，因此被积函数必然等于零，即由于把这两个关系式代入式(5-58)，整理后得到式(5-58)式(5-61)§5-4能量方程的微分和积分形式注意到连续方程式为以及随体导数的表达式最后便可得到式(5-64)这就是微分形式的能量方程。§5-4能量方程的微分和积分形式对于粘性流体，令H代表总焓，e代表内能，在不考虑势能时则可以证明有下面两式成立，即式中，Φ为耗散函数，其表达式为式中，ɛ为变形率张量。如果质量力是重力，方程式(5-64)则变成式(5-68)§5-4能量方程的微分和积分形式当流体流动过程与外界既无热量交换又无机械功输入输出，并且流动为定常流时，则式(5-68)可简化为根据随体导数的物理意义可知，式(5-69)表明在绝能定常流动过程中，单位质量流体所包含的熔值、动能与势能之和(亦即具有的总能量)保持不变，即上式说明，在多维定常绝能流动中流体所具有的总能量沿迹线保持不变，由于定常流迹线与流线重合，因此沿流线流体总能量亦保持不变。一般情况下，不同流线的流体所具有的总能量是不相同的，只有当起始点上流体所具有的总能量相等，那么在整个流场上流体所具有的总能量才处处相等，这种流动叫做均能流。式(5-70)§5-5伯努利方程及其应用

式(5-71)由几何关系将流体元的加速度转换为欧拉形式的加速度，沿流线方向的质点导数式为式(5-75)则式(5-71)可表示为上式为无粘性流体沿流线的运动微分方程，又称为一维欧拉运动方程。为将方程沿流线积分，式(5-75)两边乘以ds并移向，又因可得式(5-77)§5-5伯努利方程及其应用§5-5伯努利方程及其应用式(5-78)将式(5-77)沿流线积分式(5-78)称为欧拉运动方程沿流线的积分式，适合于可压缩无粘性流体沿流线的不定常运动。对不可压缩流体的定常流动，式(5-78)可作进一步简化为式(5-79)式(5-79)称为伯努利方程。方程中的各项分别代表单位质量流体具有的动能、位置势能和压强势能。应用伯努利方程时常采用沿流线上任两点的总机械能值相等的形式：式(5-80)§5-5伯努利方程及其应用

式(5-81)§5-5伯努利方程及其应用式(5-82)整理后取极限，并考虑到几何关系可得式(5-83)上式为可压缩无粘性重力流体沿流线的法线方向的速度压强关系式。若忽略重力作用，如气体流动或液体作平行于地面的水平流动时，引起流体质点改变方向的唯一原因是沿流线的法线方向存在压强梯度，即式(5-84)

§5-5伯努利方程及其应用设ρ为常数时，式(5-83)中g和1/ρ均可移至微分号之内，沿流线法线方向积分可得式(5-85)

式(5-87)或式(5-86)上式与静止流体中的压强公式形式相同，它表明不可压缩无粘流体作直线定常运动时，沿直线流线法线方向的压强变化规律与静止液体中一样。§5-5伯努利方程及其应用伯努利方程(5-79)式描述单位质量流体沿流线流动时总机械能守恒。在由无数流线组成的流束中，将伯努利方程中三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即式(5-88)在工程上通常将式(5-88)化为沿总流的形式，并用总流有效截面上的平均速度V代替不均匀的速度分布，为此引入动能修正因子α，定义为式(5-90)式(5-89)若截面A符合缓变流条件，将式(5-86)和式(5-89)代入式(5-88)，考虑到ρQ=常数，可得§5-5伯努利方程及其应用常用的形式为沿总流取两个缓变流截面A1，A2，平均速度分别为V1，V2，可得式(5-91)式(5-90)和式(5-91)称为沿总流的伯努利方程或一维平均流动伯努利方程，表明在有效截面上按质量流量计算的总机械能沿总流守恒。方程成立的限制条件是(1)忽略粘性，(2)不可压缩流体，(3)定常流动，(4)

A1，A2截面符合缓变流条件(其他截面上允许有急变流存在)。α由式(5-89)定义。在圆管流动中抛物线速度分布(层流)时α=2，1/7指数速度分布(湍流)时α=1.0。绝大多数的实际管流均为湍流，因此通常取α1=α2=1，这样式(5-91)与沿流线的式(5-80)形式完全一样。§5-5伯努利方程及其应用三、伯努利方程的水力学意义将伯努利方程（5-79）式和（5-90）式变换为另一种形式通常将v2/2g称为速度水头，z称为位置水头，p/ρg称为压强水头，后两者之和称为测压管水头，而H则称为总水头。因此式（5-92）可称为水头形式的伯努利方程，它表明不可压缩式(5-92a)式(5-92b)无粘性流体作定常流动时总水头沿流程不变。在水力学中将流道各截面上相应的水头高度连成水头线。§5-5伯努利方程及其应用四、伯努利方程的应用皮托管：在流场中某一点处，放置一根两端开口的直角弯管，其一端迎着来流方向，当流体流进管内并上升一定高度后，管内流体就静止了，如图所示。因