变量的相关关系高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修三

第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性8.1.1变量的相关关系课标要求1.结合实例，体会两个变量间的相关关系.2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断.素养要求通过对两个变量相关关系的学习，发展直观想象及数据分析素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、变量的相关关系1.问题小明根据自己的调查，提出下列问题：①吸烟可导致肺癌；②下表是小明家所在小区对面小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表；气温/℃2518121040杯数183037355054③正方形的面积S＝x2(x是边长).(1)吸烟一定可以导致肺癌吗？吸烟与患肺癌有关吗？提示吸烟不一定导致患肺癌，但吸烟与患肺癌有一定关系.(2)小卖部中卖出的热茶杯数与当天气温有关吗？两者之间是如何变化的？提示两者有关系，随着气温的降低卖出的热茶杯数增加.(3)正方形的面积S与边长x是什么关系？提示面积S与x之间是函数关系，是种确定关系.2.填空两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去________决定另一个的程度，这种关系称为______关系.精确地相关BC3.做一做(多选)下列变量之间的关系是相关关系的是(

)A.正方形的表面积与体积B.光照时间与果树的产量C.粮食产量与施肥量D.某运动会中某代表团的足球队的比赛成绩与乒乓球队的比赛成绩解析

选项A中是确定的函数关系，D项中足球队的比赛成绩与乒乓球队的比赛成绩没有关系.二、散点图、线性相关1.问题下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：x11511080135105y44.841.638.449.242(1)以x为横坐标，y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点.这些点是大致落在一条直线附近吗？提示

这些点大致落在一条直线附近.(2)房屋的销售价格与房屋的面积有关系吗？提示有关系.(3)怎样描述房屋的销售价格与房屋的面积之间的变化关系？提示大体上看，面积越大，售价越高，但不是正比例关系.2.填空(1)每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做________.(2)如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现______的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现______的趋势，则称这两个变量负相关.(3)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们就称这两个变量______相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.散点图增加减小一条直线线性温馨提醒

相关关系与函数关系的区别和联系相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.BC3.做一做(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是(

)解析

图A的两个变量具有函数关系；图B，C的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系.×4.思考辨析正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”.(1)圆的面积与圆的半径具有相关关系.(

)(2)利用散点图可以直观地得到两个变量之间的函数关系.(

)(3)曲线上的点与该点的坐标之间是相关关系.(

)(4)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系.(

)提示函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系.×××HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANNENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

判断以下两个变量之间是否具有相关关系？题型一相关关系的理解(1)正方形的面积与其周长之间的关系；解

设正方形的面积为S，周长为C，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系.(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；解

子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系.(3)学生的学号与身高；解

学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系.(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系.解

若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系.函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，

而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.思维升华训练1(1)下列说法正确的是(

)DA.y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量B.正四面体的体积与棱长具有相关关系C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D.传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病病人数是具有相关关系的两个变量解析

A，B均为函数关系，C，D为相关关系.(2)(多选)下列说法正确的是(

)A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系B.同一物体的加速度与作用力是函数关系C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系ABD解析

闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确.例2

某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：题型二散点图与相关性树龄2345678体积30344060556270(1)请作出这些数据的散点图；解以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？解由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系.迁移

若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.解近似拟合直线如图所示：判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.思维升华训练2

对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(

)CA.变量x与y正相关，u与v正相关

B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关

D.变量x与y负相关，u与v负相关解析由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.题型三散点图的应用例3

下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；解散点图如下：(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？解从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加.1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现.思维升华训练3

(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(

)BCDA.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强解析由题中上图知气压随海拔高度的增加而减小，由题中下图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误.课堂小结1.掌握两种方法(1)利用定义判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系的方法；(2)利用散点图判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系的方法.2.常见误区：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.下列每组的两个变量之间具有相关关系的是(

)DA.乌鸦叫，灾难到B.圆心角的大小与半径C.物体的质量一定，其密度与体积之间的关系D.儿童的年龄与身高解析

A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系.2.(多选)下列说法正确的是(

)CDA.任何两个变量都具有相关关系B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D.根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系解析

A显然不对，B是函数关系，C，D正确.3.下列图形中具有相关关系的两个变量是(

)D解析

A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系.4.(多选)下列关系中，是相关关系的为(

)ABA.学生的学习态度与学习成绩之间的关系B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系解析

A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系；B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C，D都不具备相关关系.5.下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天本地某类疾病的患者治愈的数据，以及根据这些数据绘制出的散点图.日期5.15.25.35.45.55.6人数100109115118121134日期5.75.85.95.105.115.12人数141152168175186203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；③根据此散点图，可以判断日期与人数具有非线性相关关系.其中正确的个数为(

)A.0 B.1C.2 D.3解析

由图知所有的点大致集中在一条直线附近，因此，日期与人数具有线性相关关系，只有①正确.B6.下列两个变量之间的关系，是函数关系的有__________(填序号).①③①球的体积和它的半径；②人的身高和体重；③底面积为定值的长方体的体积和高；④城镇居民的消费水平和平均工资.而②④中的两个变量，不是函数关系而是相关关系.7.以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据：有物品大小/m211.511080135105销售价格/万元4.821.618.429.222则根据数据可以判断x，y________相关关系(填“有”或“无”).解析

物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系.8.下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________(填序号).③解析

散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；散点图②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；散点图③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；散点图④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系.9.5名学生的数学和物理成绩如下表：生学成绩学科ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否具有相关关系.解把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点，作出散点图如图.从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们具有相关关系且是正相关.10.某个男孩的年龄与身高的统计数据如表所示：年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120(1)画出散点图；解

散点图如图所示.(2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关.解

由散点图知，所有数据点分布在一条直线附近，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系.11.(多选)下列关系是相关关系的是(

)BCA.角度和它的正弦值B.某商场搞促销活动与销售量之间的关系C.作文水平与课外阅读量之间的关系D.底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系解析

A，D中两个变量之间的关系是函数关系，而B，C中的两个变量之间的关系是相关关系.12.(多选)对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是(

)ABDA.该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高B.该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关性，且为正相关解析

散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；该同学在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关性，且为正相关，C不正确，D正确.13.有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：(单位：亿元)第n年123