31-第三章第一节(概率统计)

3.1二维随机变量及其边缘分布

第三章多维随机变量及其分布内容简介:在很多随机现象中,进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量.一般来说,这些随机变量之间存在着某种联系,因而既需要单独研究每个随机变量,又需要把它们作为一个整体来研究.第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其边缘分布3.1提出问题

发射一枚炮弹,需要同时研究弹着点的横坐标和纵坐标;考察某地区学龄前儿童的发育情况时，要同时考察身高和体重等多个因素.怎样来研究这几个随机因素呢？3.2预备知识1.差事件概率计算；2.二元函数，反常二重积分,二重积分及其几何意义，二重积分计算，分段函数的二重积分计算.

在很多随机现象中,进行一个随机试验通常需要同时考察几个随机变量.例如,发射一枚炮弹,需要同时研究弹着点的几个坐标;研究市场供给模型时,需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格三个因素等等.

一般来说,这些随机变量之间又存在着某种联系,因而既需要单独研究每个随机变量,又需要把它们作为一个整体(即向量)来研究.3.3提出概念

定义1

设E是一个随机试验,它的样本空间是Ω={ω},X1=X1(ω),X2=X2(ω),…,Xn

=Xn

(ω)是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的一个n维随机向量（X1,X2,…,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.

例3.1.1

设靶心为直角坐标系原点,弹着点离靶心距离不超过1的随机事件可表示为{(X,Y)│

X2+Y2≤1}.

例3.1.2

同时抛一枚5分硬币和一枚2分硬币,设îíì=0,1,2分硬币正面朝上,Yîíì=

0,

5分硬币反面朝上.

1,5分硬币正面朝上,X2分硬币反面朝上.

则(X,Y)是一个二维随机变量，描述了掷5分硬币和2分硬币的各种可能结果.

对于n维随机向量,其中每一个分量是一个一维随机变量,我们可以单独地研究它.除此以外,各分量之间又有相互联系,在许多问题中,这种相互联系是更重要的.

我们着重研究二维情形,其中大部分结果可以推广到任意n维情形.

1.二维随机变量的分布函数及其边缘

分布函数

类似于一维随机变量的分布函数,可以定义二维随机变量的“分布函数”.F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}

(3.1.1)

定义2

设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.

如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标,那么分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(其中(x,y)∈R2)表示随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.见图3-1.图3-1{X≤x,Y≤y}的几何意义

依照上述几何解释和概率的可加性,对随机点(X,Y)落入矩形区域I:x1<x≤x2,y1<y≤y2的概率,可以直接按照下面的运算公式计算:

P{(X,Y)∈I}=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)

+F(x1,y1)

(3.1.2)

其几何关系见图3-2.图3-2{(X,Y)∈I}的几何意义

(1)F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x2>x1时,F(x2,y)≥F(x1,y);对于任意固定的x,当y2>y1时,F(x,y2)≥F(x,y1).

(2)F(x,y)对每个变量右连续,即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),

也就是F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续.

二维随机变量联合分布函数有

与一维随机变量分布函数类似的性质：

(3)0≤F(x,y)≤1,且对于任意固定的y,F(-∞,y)=0,对于任意固定的x,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.

上面四个式子可以从几何上加以说明.例如,在图3-1中将无穷矩形的右边界向左无限平移(即x→-∞),则{随机点(X,Y)落在这个矩形内}这一事件趋于不可能事件,因此其概率趋于0,即有F(-∞,y)=0;又如当x→+∞,y→+∞时,图3-1中的无穷矩形扩展到全平面,{随机点(X,Y)落在全平面}这一事件趋于必然事件,故其概率趋于1,即F(+∞,+∞)=1.

(4)对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1<y1,

x2<y2,

有F(x2,y2)

-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0.

我们再来探讨随机变量X,Y各自的分布函数与联合分布函数之间的关系.

设F(x,y)为随机变量X和Y的联合分布函数.我们称FX

(x)=P{X≤x}=P{X≤x,-∞<Y<+∞}=F(x,+∞)(x∈R)

(3.1.3)定义3为关于随机变量X的边缘分布函数.

同理,称

FY

(y)=F(+∞,y),(y∈R)(3.1.4)为关于随机变量Y的边缘分布函数.

二者关系：有了二维分布函数F(x,y),也就唯一确定了边缘分布函数FX

(x)和FY

(y).

思考题反之如何呢？

设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能取值(xi,yj),i,j=1,2,….令pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,…,(3.1.5)则称上式为(X,Y)的分布律,或称为X和Y的联合分布律.

定义4

若二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)为离散型二维随机变量.

2.二维离散型随机变量的联合分布律

与边缘分布律表3-1离散型随机变量(X,Y)的概率分布

XYx1x2…Xi…y1p11p21…Pi1…y2p12p22…Pi2…

yjp1jp2j…Pij…(X,Y)的分布律也可用表格形式给出：例3.1.3

设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,

另一个随机变量Y在1~X中等可能取一整数值.试求二维随机变量(X,Y)的分布律.

解由概率乘法公式容易求得(X,Y)的分布律.由题意知,{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数.于是得到所以(X,Y)的分布律为

P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}

=,i=1,2,3,4,j≤i.

X

Y1234120300

4000

二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,

y)与分布律的关系是：F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}二维离散型随机变量的分布律有下列性质：

(1)0≤pij≤1,i,j=1,2,….分别称pi·,i=1,2,…和p·j,j=1,2,…

为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律.这里pi·表示对第二个足标j求和,P·j表示对第一个足标i求和.

二维离散型随机变量(X,Y)的分布律及其边缘分布律可用表格表示如下：

表3-2离散型随机变量(X,Y)的联合分布与边缘分布

表中最后一行表示(X,Y)关于X的边缘分布律,最后一列表示(X,Y)关于Y的边缘分布律.1…pi·…p2·p1·pi·

…

…p·j…pij…p2jp1jyj

…

…p·2…pi2…p22p21y2p·1…pi1…p21p11y1p·j…xi…x2x1

XY

例3.1.4

继续求例3.1.3问题的关于X和Y边缘分布律.

解依上述定义，得到二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘分布律,如下表所示（见下页）.

通过下述边缘分布，可以验证：(1)

这里P{X=i}=

=,i=1,2,3,4,

说明“随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值”.(2)这里P{Y=2}==,与例3.1.3利用全概率公式计算得到的相符.

XY1234P{Y=j}=p·j1203004000P{X=i}=pi·1

3.二维连续型随机变量的概率密度及

其边缘概率密度

与一维连续型随机变量的定义类似,我们给出二维连续型随机变量的定义如下：

通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上,如上表所示.这就是“边缘分布律”这个名词的由来.

定义5

对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积的函数f(x,y),使得对于任意实数x和y,有则称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.按定义,概率密度f(x,y)具有以下性质：

(1)f(x,y)≥0.

(3)设G是xOy平面上的区域,点(X,Y)

落在的概率为

(4)若f(x,y)在点(x,y)处连续,则有(2)图3-3概率密度f(x,y)及概率P{(X,Y)∈G}

在几何上,z=f(x,y)的图形表示空间曲面Σ.由性质(2),(3)可知,介于曲面Σ和xOy平面的空间区域的体积为1,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z

=f(x,y)为顶面的曲顶柱体体积.见图3-3.

与二维离散型随机变量相似,二维连续型随机变量也有边缘概率密度的概念.

对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度为f(x,y).由于

同理可知,Y也是连续型随机变量,其相应的概率密度为

分别称fX

(x),fY

(y)为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.从而可知,X是连续型随机变量,且其相应的概率密度为

例3.1.5

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

(1)确定常数A;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求关于X和Y的边缘概率密度fX

(x),fY

(y);(4)计算概率P{X<1,Y<2};(5)计算概率P{X+Y<1}.解(1)由联合概率密度的性质(3.1.10),应有

故得

A=4.

(2)由概率密度的定义知,分布函数

我们来分块计算分布函数F(x,y)：

当x≤0或y≤0时,f(x,y)=0,故F(x,y)=0.当x>0且y>0时,

所以

(3)上面已求得F(x,y),故可先由(3.1.13),(3.1.14)式求得边缘分布函数,再对边缘分布函数求导计算出边缘概率密度.X的边缘分布函数为

所以，关于X的边缘概率密度为同理,关于Y的边缘概率密度为

(4)

P{X<1,Y<2}=F(1,2)=(1-e-2)(1-e-4).

(5)由(3.1.11)式,

讲评

(1)我们也可以利用(3.1.13)式与

(3.1.14)式直接从f(x,y)积分求得关于

X和关于Y的边缘概率密度.

(2)也可以通过P{X<1,Y<2}=

求得.

(3)此例题知识全面，方法综合,要熟练掌握，应引起读者重视.

例3.1.6设二维随机变量(X,Y)的概率密度为我们称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布,记为(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ).试求它的边缘概率密度.解

因为由于

于是令

则有

即得到

同理,

讲评

(1)可见,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且都不依赖于参数ρ,亦即对于给定μ1,μ2,σ1,σ2,不同的ρ对

(2)

由随机变量X和Y的联合分布F(x