(第14讲)定积分的概念与性质

2．4定积分的概念与性质（第14讲）1.两个实例2.定积分的概念3.定积分的几何意义4.定积分的性质1、两个实例[实例1]曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y

f(x)在区间[a，b]上非负、连续．由直线x

a、x

b、y

0及曲线y

f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边．ba

y=f(x)x=bx=axyO

y=f(x)baxyOA1A1A1A

A1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得A

A1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得

y=f(x)baxyOA1A2A

A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4

y=f(x)baxyOA

A1+A2+

+An

将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．任取xi

[xi

1，xi

]，以f(x

i)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．区间[xi

1,xi

]的长度Dxi

xi

xi

1

．曲边梯形的面积近似为：A

记max{Dx1,Dx2，···,Dx

n

}．则曲边梯形的面积的精确值为：A=曲边梯形的面积近似为：A

．

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．区间[xi

1,xi

]的长度Dxi

xi

xi

1

．[实例2]变速直线运动的路程

设物体作直线运动,已知速度v

v(t)是时间间隔[T1,T2]上

t的连续函数,且v(t)

0,计算在这段时间内物体所经过的路程S

．在时间间隔[T1,T2]内任意插入n-1个分点T1

t0<t1<t2<···<tn

1<tn

T2,把[T1,T2]分成n个小段[t0,t1],[t1,t2],···,[tn

1,tn],各小段时间的长依次为Dt1

t1

t0,Dt2

t2

t1,···,Dtn

tn

tn

1．任取

i

[ti

1,ti],在时间间隔[ti

1,ti]内物体所经过的路程近似为DS

v(

i)Dt

i

(i

1,2,···,n)．

所求变速直线运动路程S

的近似值为

记

max{Dt1，Dt2，···，Dtn}．则变速直线运动的路程为：

所求变速直线运动路程S

的近似值为两个不同类型的的问题，透过它们解决问题的思想方法和结构模式，最终可归结为求一个具有特定结构和式的极限。即：分割——近似替换——求和——取极限。2、定积分的概念

定义

设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，任取分点a

x0<x1<x2<···<xn

1<xn

b把区间[a，b]分成n个子区间[xi

1，xi](i

1，2，···，n)，即[x0，x1]，[x1，x2]，···，[xn

1，xn]，记Dxi

xi

xi

1，即Dx1

x1

x0，Dx2

x2

x1，···，Dxn

xn

xn

1．任取xi

[xi

1，xi]，作函数值

f(xi)与小区间长度Dxi的乘积

f(xi)Dxi(i

1，2，···，n)，并作出和S=．

记

max{Dx1,Dx2,···,Dx

n},如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x

i

1,xi]上点x

i

怎样取法,只要当

0时，和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作即

I

f(x)······被积函数f(x)dx······被积表达式x······积分变量a······积分下限b······积分上限[a，b]······积分区间定积分各部分名称：

根据定积分的定义，曲边梯形的面积为

变速直线运动的路程为A

（2）在定义中假设a<b，为了计算方便起见，补充如下规定：注意：

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即．3、定积分的几何意义

在区间[a，b]上，当f(x)

0时，图形位于x轴上方，积分在几何上表示由曲线y

f(x)、两条直线x

a、x

b

与x

轴所围成的曲边梯形的面积；ba

y=f(x)xyO

当f(x)

0时，由曲线y

f(x)、两条直线x

a、x

b

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，xyO

y=-f(x)ba

y=f(x)定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：=-

S=-=-．

我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在

x

轴下方的图形面积赋以负号．它是介于x

轴、函数f(x)的图形及两条直线x

a、x

b之间的各部分面积的代数和．abOyx+-+

y=f(x)

在一般情形下，定积分的几何意义为：4、定积分的性质

性质1即，函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差).性质2性质3性质4

性质5（估值定理）若在[a，b]上，有m≤f(x)≤

M，则有M*证明：因为m

f(x)

M

，所以从而M(b

a)my=f(x)

f(x)dxm(b

a)Oxyab．

性质6(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x，使下式成立：

f(x)dx

f(x)(b

a)y=f(x