5.1 三角函数的定义（精练）（教师版）

5.1三角函数的定义（精练）1．（2023春·江西赣州）把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，所以该手表分针转过的角为：.故选：B.2．（2023·福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.3．（2023春·天津）下列命题中正确的是（

）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差D．终边相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差的整数倍，故C错误，D错误；故选：A4．（2023春·云南）下列说法正确的有几个（

）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】第一象限角的集合为，锐角是大于小于的角，锐角的集合为所以（1）错误，（2）正确，（3）正确故选：C.5．（2023春·山东）已知点A在以原点为圆心的圆周上，从x轴正半轴，沿着逆时针方向作匀速圆周运动，速度为每分钟转角.若点A在2分钟时落在第三象限，18分钟时回到出发位置，则大小是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】由题意得，，故，因为，所以，，因为18分钟时回到出发位置，所以，故，可得，所以，因为，所以或，或，即或.故选：C.6．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】展开过程中：,,故选：D.7．（2023·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，而，所以角的终边上点的坐标可写为：，所以，因此的最小正值为.故选：D8．（2023·山东菏泽）已知角的终边过点，若，则实数m的值为（

）A． B．4 C．或3 D．或4【答案】D【解析】因为，所以，所以，解得．故选：D．9．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，且，则，所以，所以该封闭图形的面积为.故选：A.10．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为角终边上的一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题易知，，则．故选：D．11．（2023春·北京）设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因为是第二象限角，所以，，当时，，在第一象限；当时，，在第二象限；当时，，在第四象限；故选：D12．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若弧的长度为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心的坐标为，半径，因为弧的长度为，所以，又，所以为等边三角形，所以顶点到边的距离为，所以，所以，故选：A.13．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，由.故选：A14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知锐角终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由锐角终边上一点，所以，所以，所以，故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为时，，，所以，又，所以故选：D16．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________.【答案】【解析】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示：根据三角函数定义可知，；绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为，所以点B的横坐标为.故答案为：17．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，，则扇形OAC的面积为___．【答案】【解析】如图，过点作，设所在圆的半径为，则，在中，，，所以，，所以，.在中，有，即，整理可得，.因为，所以，所以，扇形OAC的面积为.故答案为：.18．（2023·湖北·校联考模拟预测）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体，其中的下半部分是半径为的球的一部分，的上半部分是半径为3的球的一部分，且，则过直线的平面截所得截面的面积为__________．【答案】【解析】设N是两球面的一个公共点，且位于截面上，由，得，故，从而．所以截面面积为．故答案为：19．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知，将绕原点沿顺时针方向旋转45°到的位置，则点的坐标为______.【答案】【解析】由向量，可得，设，可得，将绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，可得，可得，，设，可得，即.故答案为：.20．（2023·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则___________.【答案】【解析】因为角的终边与圆相交于点，则，所以.故答案为：.21．（2023·全国·高三专题练习）在内，使成立的的取值范围是____【答案】【解析】根据三角函数线，角度终边落在直线右下方时，满足，又当在时，成立的的取值范围是，如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足，又当在时，成立的的取值范围是综上所述，所求范围为.故答案为：.22．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为__________，若直线的倾斜角为，则其斜率为__________．【答案】【解析】设点为角终边上一点，如图所示，．由三角函数的定义可知：，，则，则直线的倾斜角为，将点绕原点逆时针旋转到点，得直线的倾斜角为，且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，即，且，则．故答案为：．1．（2023·全国·模拟预测）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为．∵扇形的圆心角为∴，∴∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长∴，∴∴∴∴．故选：A．2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，所以当时，，则，于是，即；当时，，则，所以，而，于是，即；综上：.故选：C3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（

）A．经过1后，扇形AOB的面积为B．经过2后，劣弧的长为C．经过6后，质点B的坐标为D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即【答案】BD【解析】对于，由题意可知：经过1后，，所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；对于，经过2后，，所以此时劣弧的长为，故选项正确；对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，故选：.4．（2023·全国·模拟预测）已知角为锐角，角、2、的始边均与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，且角的终边与角的终边关于角的终边对称，则的值为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【解析】∵角的终边经过点，∴．由，解得或．∵，∴，∴，即（舍），故．∵角的终边与角的终边关于角的终边对称，∴，解得．∴.故选：A．5．（2023春·辽宁大连·高一育明高中校考期中）下列说法错误的是（

）A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C．经过4小时，时针转了D．若角和角的终边关于对称，则有，【答案】C【解析】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；因为，所以或，故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确；对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，所以经过4小时应旋转，故C错误；对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确.故选：C6．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故选：D.7．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先证明：当0＜x＜时，如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函数在上单调递增，所以又由函数在上单调递减，则所以所以，即故选：C．8．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）（多选）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（

）A．B．扇形的面积为C．D．当时，四边形的面积为【答案】AD【解析】由题意圆的半径选项A：由题意得所以所以，故A正确；选项B：因为，所以扇形的面积，故B错误；选项C，故C错误；选项D：因为，所以故D正确故选：