5.1.1 第2课时 分层抽样-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步教参(人教B版)

第2课时分层抽样学习目标核心素养1.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点)2．利用分层抽样的方法解决实际问题．(难点)1.通过分层抽样的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助分层抽样方法的学习，提升数学运算的核心素养.为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)．(1)从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；(2)每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；(3)把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有150名，良好学生有600名，普通学生有250名)．问题1：上面三种抽取方式中各采用何种抽取样本的方法？[提示](1)简单随机抽样，(2)简单随机抽样，(3)分层抽样．问题2：方式三中如何确定优秀生、良好生、普通生的抽取人数？这样抽取有什么好处？[提示]根据各层人数，这样更有代表性．问题3：在实际问题中，如何选择抽样方法？[提示]总体由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样．否则，采用简单随机抽样．1．分层抽样一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．2．应用的广泛性(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时．(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．[拓展](1)分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义．(2)所有层都按同一抽样比等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取．(3)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整．思考：适合分层抽样的总体具备什么特征？[提示]总体由差异明显的几部分组成．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)分层抽样实际上是按比例抽样．()(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．()(3)分层抽样中不能用简单随机抽样．()(1)√(2)×(3)×[(1)由分层抽样的定义知此说法正确．(2)分层抽样是等可能抽样．(3)分层抽样在各层抽样时，可以灵活选用不同的抽样方法．]2．下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是()A．从一箱3000个零件中抽取5个入样B．从一箱3000个零件中抽取600个入样C．从一箱30个零件中抽取5个入样D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样D[D选项中甲、乙生产的零件有差异，最适合分层抽样．]3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人D．30人，50人，10人B[先求抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故选B.]4．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生为________人．160[男生人数为560×eq\f(280,560＋420)＝160.]分层抽样的概念【例1】(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是()A．从总体中逐个抽取B．将总体分成几层，分层进行抽取C．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量[思路探究]依据分层抽样方法的特点依次进行判断．(1)B(2)B[(1)A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特点，C，D不属于分层抽样方法，所以应选B.(2)A中总体个体无明显差异，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．]1．使用分层抽样的前提分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．2．使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．(1)某学院有四个饲养房，分别养有18,54,24,48只白鼠供试验用．某项试验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为________.①在每个饲养房各抽取6只．②把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样法确定24只．③在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只．④先确定在这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样法确定各自抽取的对象．(2)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________．(1)④(2)分层抽样[(1)①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了每个个体入选的可能性不相等，是错误的方法．②中保证了每个个体入选的可能性相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量．③中总体采用了分层抽样，但在每个层次中抽取时有一定的主观性，貌似随机，实则每个个体被抽到的可能性无法保证相等．(2)因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样．]分层抽样的计算角度一求样本各层中抽取的量【例2】(1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．(2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．(1)20(2)18[(1)根据题意，可得抽样比为eq\f(100,200＋400＋1400)＝eq\f(1,20)，故应抽取中型超市400×eq\f(1,20)＝20(家)．(2)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×eq\f(32,160)＝18.]角度二求总体容量【例3】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012B[因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808(人)．]分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比eq\f(n,N)，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数．(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×eq\f(mi,m1＋m2＋…＋mk)(i＝1,2，…，k)．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．(1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．(2)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是________件．(1)16(2)800[(1)设应在丙专业抽取的学生人数为x，则eq\f(40,150＋150＋400＋300)＝eq\f(x,400)，即eq\f(40,1000)＝eq\f(x,400)，解得x＝16.(2)设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3000－1300－x＝(1700－x)件．设C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层随机抽样的定义可知eq\f(1700－x,a＋10)＝eq\f(x,a)＝eq\f(1300,130)，解得x＝800.]分层抽样的方案设计[探究问题]1．分层抽样的特点有哪些？[提示](1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；(2)分成的各层互不交叉；(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即eq\f(n,N)，其中n为样本容量，N为总体容量．2．计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整数怎么办？[提示]为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．3．分层抽样公平吗？[提示]分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·eq\f(Ni,N)，每个个体被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例3】一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？[思路探究]eq\x(观察特征，确定抽样方法)→eq\x(分层求比例，确定各层样本数)→eq\x(从各层中抽取样本)[解]因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样．步骤如下：(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成样本．1．(变条件)本例把50岁及50岁以上的人数改为96人，其他条件不变，问应该怎样抽取？[解]因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样，步骤如下：(1)分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁职工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)，在35岁至49岁职工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)，在50岁及50岁以上职工中先随机剔除1人，再在剩余职工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成样本．2．(变结论)本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各年龄段依次抽取多少人？[解]按eq\f(200,500)＝eq\f(2,5)的比例抽样，所以依次抽取125×eq\f(2,5)＝50人，280×eq\f(2,5)＝112人，95×eq\f(2,5)＝38人．分层抽样的步骤一、知识总结1．本节课要牢记分层抽样中的两个比例关系(1)eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(各层抽取的个体数,该层的个体数).(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．2．要掌握分层抽样的两类问题(1)根据分层抽样的特征判断分层抽样．(2)根据分层抽样的步骤设计分层抽样，特别是当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体．二、常见误区1．概念理解错误致错．2．忽视每个个体被抽到的机会相等而致误．1．简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是()A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取C[两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同．]2．分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽取的个体数量相同C[保证每个个体等可能的被抽取是基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3