九年级数学旋转和旋转变换培优教程一

九年级数学旋转和旋转变换培优教程一考点·方法·破译1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；3．能利用旋转性质进行开放探究。4．5．经典·考题·赏板【例１】（咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）A． ②④ B． ①④ C． ②③ D.①③【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AD，得△AED≌△AEF，①正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE代入得，BE2+DC2=DE2，④正确；且知③不正确；若∠AFB≠∠ADC，则②不正确，故本题选B【变式题组】1．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变【例２】（孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转900，得△A1OB1。已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B1点的坐标为（）A． B． C． D．【解法指导】根据旋转的性质得∠A1OB1=300，OB1=OB=，过B1作B1H垂直Y轴于H。可得B1H=，OH=，则B1点的坐标为，本题选A。【变式题组】1．（泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿X轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…P2008的位置，则点P2008的横坐标为_________．【例３】（邵阳）如图将Rt△ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A1，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）【解法指导】可以选择∠BAB1为旋转角，由三角形外角和定理得∠BAB1=340+900=1240，应选B。【变式题组】3．（津州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转800得到△OCD，若∠A=1100，∠D=400，则∠а的度数是（）A． 300 B． 400 C． 500D．6004．（陕西）如图，∠AOB=900，∠B=300，△A1OB1可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转а角度得到的，若点A1在AB上，则旋转角а的大小可以是（）A． 300 B． 450 C． 600 D．9005．（株洲）如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=360，则∠OAB的度数是（）A． 1160 B． 1170 C．1180 D．1190【例４】（昆明）在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4cm，AC=3㎝，把△ABC绕点A顺时针旋转900后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A． B． C． D．5【解法指导】点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm，所以路径长为，应选C【变式题组】6．（丽水）把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,).【例５】(南宁)已知△ABC在平面坐标系中的位置如图所示。分别写出图中点A和点C的坐标；画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的△A1B1C1；求点A旋转到点A1所经过的路线长（结果保留）【解法指导】解：（1）A（0，4）、C（3，1）（2）图略（3）AC=，弧【变式题组】1．（武汉）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1。0）（1）请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。2．（齐齐哈尔）如图，在平面坐标系，△ABC的顶点坐标为A（-2，3）、B（-3，2）、C（-1，1）。（1）若将△ABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1（2）画出△A1B1C1绕原点旋转1800后得到的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_________;(4)顺次连结C、C1、C1、C2所得到的图形是轴对称图形吗？【例６】（全国竞赛）如图在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1）、B（2，-1），C（-2，-1）、D（-1，1），Y轴上一点P（0，2）绕点A旋转1800得到P1，点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800得点P3，点P3绕点D旋转1800得到P4，……，重复操作依次得到P1、P2、……，则点P2010的坐标是（）A、（2010，2）B、（2010，-2）C、（2012，-2）D.（0，2）【解法指导】由已知可以得到，点P1、P2的坐标分别为（2，0），（2，-2），记P2（a2,b2），其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3（-4-a2,-2-b2）,P4(2+a2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P6(4+a2,b2)，令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标（4+a6,b2）即P10(4×2+a2,b2),由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，-2），本题应选B。【变式题组】1．（东莞）如图①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小；（2）如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小。2．（衡阳）如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD。（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是OA=2cm，求OC的长。演练巩固·反馈提高01．（广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是（）02．（黑龙江）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D．403．（扬州）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ABP1重合，如果AP=3，那么线段PP1的长等于________.04．(达州)如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为：___________（结果保留准确值）05．（青岛）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这个两个正方形重叠部分的面积是_______.06．(莆田)如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：（1）网格中每个小三角形的面积为_________（2）将顶点在格点上的四边形ABCD绕点O顺时针旋转120两次所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为____________(结果保留)07．（温州）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上。（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形。培优升级·奥赛检测01．（希望杯竞赛）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转400后得到的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=900，则∠B的度数是________.02．(黄冈竞赛)如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转900至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是_______cm2.03．(延边竞赛)如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内。若AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为______cm2.04．(嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为_____.05．如图，已知：P是等边△ABC内的一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小之比（）A． 2：3：4 B．3：4：5 C． 4：5：6 D．5：6：706．（河北）有一个四等转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1，若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转900，则完成一次变换。图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换，按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（）A． 上 B．下 C．左 D．右07．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC。（1）将△PAB绕点B顺时针旋转900到△P1CB的位置（如图1）。①设AB的长为a,PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P1CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=1350，求PC的长。（2）如图2，若PA2+P