人教版八年级数学 11.1 与三角形有关的线段（学习、上课课件）

11.1与三角形有关的线段第十一章三角形11.1.1三角形的边逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的有关概念及表示方法三角形的分类三角形的三边关系1.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.特别解读识别三角形的三个条件：1.三条线段；2.不在同一条直线上；3.首尾顺次相接.线段位置线段数量线段连接方式知识点三角形的有关概念及表示方法1知1－讲2.三角形的三元素(边、角、顶点)(如图11.1－1)知1－讲3.三角形中角与边的对应关系顶点ABC顶点处的角∠A或∠BAC∠B或∠ABC∠C

或∠ACB顶点所对的边BC

或aAC

或bAB

或c知1－讲4.三角形的表示方法顶点是A，B，C

的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.三个字母没有先后顺序知1－讲方法点拨数三角形个数的方法：1.按组成三角形的图形个数来数(如单个三角形，由两个图形组成的三角形，⋯，最后求和)；2.从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另两条边；3.先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组.注意：无论采用哪种方法，数三角形的个数时要做到不重不漏.知1－讲例1[母题教材P4练习T1]如图11.1－2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F.知1－练解题秘方：紧扣“三角形及其元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.知1－练(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.(2)请写出△

BDF的三个顶点、三条边及三个内角.解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△BDF，△ABE，△ABD，△ACD，△BCE，△ABC.△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD,∠FDB，∠BFD.知1－练(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？解：以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－练1-1.如图所示(1)图中共有___个三角形，它们分别是_______________________________________________；(2)以AE

为边的三角形有________________________；6△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ACD，△AEC△AEB，△AED，△AEC知1－练(3)∠B分别为△

ABD，△

ABE，△ABC

中边___________的对角；(4)△ADE

的三条边分别是_____________，三个内角分别是________________________；(5)∠ADC

是__________________的内角．AD，AE，ACAD，ED，AE∠ADE，∠DEA，∠DAE△ADC，△AED知1－练1.等腰三角形及等边三角形知识点三角形的分类2知2－讲三角形类型概念图例等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底和腰相等的等腰三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形知2－讲2.三角形的分类(1)按内角的大小分类(如图11.1－3)锐角三角形(最大内角为锐角)直角三角形(最大内角为直角)钝角三角形(最大内角为钝角)三角形知2－讲(2)按边的相等关系分类(如图11.1－4)三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形知2－讲特别提醒1.三角形按内角的大小分类和按边的相等关系分类是两种不同的分类方法，各自独立，但无论按哪种标准分类，原则都是不重不漏.2.对于等腰直角三角形，按边的相等关系分类属于等腰三角形，按内角的大小分类属于直角三角形.知2－讲根据下列所给条件，判断△ABC的形状(若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断)：(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.例2解题秘方：根据三角形的分类标准进行判断.知2－练(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；解：∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，∴∠A＜∠B＜∠C＜90°，∴△ABC是锐角三角形.通过最大内角的度数去判断∵∠C＝120°＞90°，∴△ABC是钝角三角形.知2－练(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.解：∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.∵AB＝BC＝4，AC＝5，∴△ABC是等腰三角形.知2－练2-1.已知△

ABC的三边长为a，b，c,且满足(a－2)2＋|b－2|＋|c－2|=0，则此三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．一般三角形A知2－练文字语言数学语言理论依据图形三角形两边的和大于第三边a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b两点之间线段最短三角形两边的差小于第三边a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b(a＞b＞c)1.三角形的三边关系知识点三角形的三边关系3知3－讲2.三角形三边关系的应用(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围；(3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；(4)证明线段的不等关系.(5)代数式的化简.知3－讲特别提醒1.三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较.2.已知三角形的两边长a，b(a＞b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b＜c＜a＋b.知3－讲以下列长度的三条线段(或满足三条线段的比)为边，能构成三角形的有哪些？(1)6cm，8cm，10cm；(2)5cm，8cm，2cm；(3)三条线段之比为4∶5∶6；(4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0).例3解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.知3－练(1)6cm，8cm，10cm；解：∵6cm＋8cm>10cm，∴长度为6cm，8cm，10cm的三条线段能构成三角形.知3－练(2)5cm，8cm，2cm；(3)三条线段之比为4∶5∶6；解：∵5cm＋2cm<8cm，∴长度为5cm，8cm，2cm的三条线段不能构成三角形.设这三条线段的长分别为4x，5x，6x(x>0).∵4x＋5x>6x，∴三条线段之比为4∶5∶6能构成三角形.知3－练(4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0).解∵a＋1＋a＋2>a＋3，∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能构成三角形.综上可知，能构成三角形的有(1)(3)(4)．知3－练方法总结：快速判断三条线段能否构成三角形的方法只要满足三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能.知3－练3-1.长为9cm，6cm，4cm，3cm的四根木条，选其中三根组成三角形，则选择方法有()A．1种 B．2种 C．3种 D．4种B知3－练3-2.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为()A．4 B．5 C．6 D．7B知3－练[母题教材P3例(2)]用一根长18cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4cm，xcm，ycm且有两边相等.求x，y的值.例4知3－练思路引导：知3－练

知3－练4-1.若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是________

.15cm知3－练4-2.已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为()A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对C知3－练三角形的边三角形三边关系分类按边分类组成元素边顶点角11.1与三角形有关的线段第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3三角形的稳定性逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形的高三角形的中线三角形的角平分线三角形的稳定性1.三角形的高的定义和性质特别提醒1.三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足.2.画三角形高的关键：找准顶点和对边；步骤：过直线外一点作该直线的垂线段.定义从△ABC

的顶点A

向它所对的边BC

所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD

叫做△

ABC的边BC

上的高图形知识点三角形的高1知1－讲性质∵AD

是△ABC

的边BC

上的高(已知)，∴AD⊥BC

于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)图形∵AD⊥BC

于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)，∴线段AD

是△ABC

的边BC

上的高(三角形的高的定义)知1－讲2.三角形高的画法：用三角板过三角形的某一顶点向其对边或对边所在直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.拓宽视野三角形的三条高所在直线交于一点，这一点称为这个三角形的垂心.知1－讲3.三角形三条高的位置锐角三角形直角三角形钝角三角形图形知1－讲锐角三角形直角三角形钝角三角形三条高的位置三条高都在三角形内部直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部钝角两边上的高在三角形的外部，最长边上的高在三角形内部三条高的交点三条高交于三角形内一点三条高交于三角形的直角顶点三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点知1－讲正确画出△ABC

的边AC上的高的是图11.1-6中的()例1知1－练解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.解：A.图中AD

不是△

ABC边AC

上的高，不合题意；B.图中BD不是△ABC

边AC上的高，不合题意；C.图中AD

是△ABC

边BC

上的高，不合题意；D.图中BD

是△

ABC边AC

上的高，符合题意.答案：D知1－练1-1.用三角板作△ABC的边BC

上的高，下列三角板的摆放位置正确的是()A知1－练1.定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线.特别解读三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积和周长的关系：1.两个三角形的面积相等；2.两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差.知识点三角形的中线2知2－讲

知2－讲2.三角形三条中线的位置：任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部，如图11.1-8所示.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点知2－讲3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如图11.1-9中的点O)知2－讲如图11.1-10，在△ABC

中，AD，BE

分别是△ABC，△ABD的中线.(1)若△

ABD与△ADC

的周长之差为3，AB=8，求AC的长；(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.例2解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.知2－练(1)若△

ABD与△ADC

的周长之差为3，AB=8，求AC的长；解：∵AD

为BC

边上的中线，∴BD=CD.∴△ABD与△ADC

的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC.∵△ABD

与△ADC

的周长之差为3，AB=8，∴8－AC=3，解得AC=5.知2－练(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.

知2－练2-1.如图，AD

是△ABC的中线，CE

是△

ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△

DEF=2，则S△ABC

等于()A．16B．14C．12D．10A知2－练2-2.如图，AD

是△ABC的中线，已知△ABD

的周长为30cm，AB

比AC

长4cm,则△ACD的周长为_______

.26cm知2－练1.定义：三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.特别提醒1.角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有.知识点三角形的角平分线3知3－讲

知3－讲2.三角形三条角平分线的位置：一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形的内部，并且这三条角平分线交于三角形内部一点，如图11.1-12所示.拓宽视野三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.知3－讲3.三角形三种重要线段的区别三角形的高三角形的中线三角形的角平分线用途举例(1)证线段垂直；(2)证角相等(1)证线段相等；(2)证面积相等证角相等知3－讲三角形的高三角形的中线三角形的角平分线在图中的位置锐角三角形三条高全在三角形内三条中线全在三角形内三条角平分线全在三角形内直角三角形一条高位于三角形内，另两条高与两直角边重合钝角三角形一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外知3－讲三角形的高三角形的中线三角形的角平分线条数三条三条三条交点位置锐角三角形在三角形内在三角形内在三角形内直角三角形在直角顶点处钝角三角形在三角形外知3－讲三角形中三个重要的点：三条高所在直线的交点叫垂心,三条中线的交点叫重心,三条角平分线的交点叫内心.知3－讲如图11.1-13，D

是△

ABC的边AC

上一点，DE∥BC交AB

于点E，若∠EDB=∠EBD，求证：BD是△ABC

的角平分线.例3知3－练思路引导：知3－练证明：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC.又∵∠EDB=∠EBD，∴∠DBC=∠EBD.∴BD是△ABC

的角平分线.知3－练3-1.如图，在△MCD中，AB∥CD，AE与DF