冀教版八年级数学 16.3 角的平分线（学习、上课课件）

16.3角的平分线第十六章轴对称和中心对称逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角平分线的性质定理角平分线性质定理的逆定理作已知角的平分线三角形的角平分线的性质(拓展)知1－讲感悟新知知识点角平分线的性质定理11.性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的性质定理的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离相等，即点到角的两边的垂线段的长度相等.二者缺一不可.感悟新知知1－讲特别提醒1.角平分线的性质定理是由两个条件(角平分线，两条垂线段)得到一个结论(线段相等).2.利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.感悟新知2.几何语言 如图16-3-1.∵OC平分∠AOB，点P是OC

上一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，∴PD=PE.知1－讲知1－练感悟新知[母题教材P123习题A组T2]如图16-3-2，OD

平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P

为OD

上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.例1知1－练感悟新知解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质定理的模型，利用角平分线的性质定理证线段相等.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知1-1.

[期末·承德]如图，AD

是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF

⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF

与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是(

)

A.DE=DF

B.AE=AFC.OD=OF

D.OE=OFC知1－练感悟新知[期末·邢台][母题教材P122练习T1]如图16-3-3，OD平分∠AOB，DE

⊥AO

于点E，DE=5，点F

是射线OB

上的任意一点，则DF的长度不可能是()A.4B.5C.6D.7例2

知1－练感悟新知解：如图16-3-3，过点D

作DH⊥OB

于点H.∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，∴DH=DE=5，∴DF≥5.解题秘方：利用角平分线上的点到这个角两边的距离相等以及垂线段最短得到DF

的取值范围，再对各项进行判断.答案：A知1－练感悟新知2-1.如图，点P是∠AOB的平分线OC

上一点，PE⊥OA

于点E，OE=8，点F

是射线OB

上的一个动点.若PF的最小值为4，则△POE的面积为______.16感悟新知知2－讲知识点角平分线性质定理的逆定理21.逆定理到角的两边距离相等的点在角平分线上.2.几何语言如图16-3-4.∵点P

为∠AOB

内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB

的平分线OC

上.在角的内部.感悟新知知2－讲

在角的内部.

知2－讲感悟新知特别提醒1.该逆定理是由两个条件(两条垂线段，线段相等)得到一个结论(角平分线).2.该逆定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.感悟新知知2－练如图16-3-5，BE=CF，BF⊥AC

于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE

交于点D，连接AD.求证：AD

平分∠BAC.例3知2－练感悟新知解题秘方：利用角平分线性质定理的逆定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知3-1.如图，在△ABC中，BD⊥AC

于点D，CE

⊥AB于点E，且BO=CO.求证：AO

平分∠BAC.知2－练感悟新知感悟新知知3－讲知识点作已知角的平分线3尺规作角平分线的步骤如图16-3-6，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.感悟新知知3－讲

知3－讲感悟新知

知3－练感悟新知

例4

解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.知3－练感悟新知

知3－练感悟新知4-1.尺规作图：已知△ABC(如图)，在△ABC

内求作一点P，使点P到∠A

的两边AB，AC

的距离相等，且PB=PA.解：如图，作∠CAB的平分线AD，再作AB的垂直平分线MN，AD与MN的交点即为点P.感悟新知知4－讲知识点三角形的角平分线的性质（拓展）41.性质定理三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，这一点叫三角形的内心.感悟新知知4－讲2.几何语言如图16-3-10，在△ABC

中，∵AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，∴AD，BM，CN

交于一点O，且点O

到三边BC，AB，AC

的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE=OG=OF.知4－讲感悟新知要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.感悟新知知4－练如图16-3-11，△ABC

的三边AB，BC，AC的长分别为10cm，15cm和20cm，三条角平分线的交点为O，则S

△AOB∶S

△BOC∶S

△COA=()A.2∶3∶4B.3∶4∶5C.1∶2∶3D.5∶12∶13例5知4－练感悟新知解题秘方：根据三角形的角平分线的性质即可解答.解：如图16-3-11，过点O

作OM⊥AB

于点M，ON⊥BC于点N，OK⊥AC

于点K.∵△ABC的三条角平分线的交点为O，∴OM=ON=OK.知4－练感悟新知

答案：A知4－练感悟新知5-1.如图，O

是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC

的面