冀教版八年级数学 17.1 等腰三角形（学习、上课课件）

17.1等腰三角形第十七章特殊三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2等腰三角形的有关概念等腰三角形的性质定理等边三角形的定义与性质定理等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理知1－讲感悟新知知识点等腰三角形的有关概念11.等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形.感悟新知2.等腰三角形的有关概念在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.知1－讲感悟新知注意：(1)

在描述等腰三角形的角和边时，一般要说明是顶角还是底角、是腰还是底边.如果没有明确说明，则要考虑所有可能的情况.(2)

等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.知1－讲感悟新知知1－讲特别解读确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.知1－练感悟新知一个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.例1解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.知1－练感悟新知解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论.当4为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵4+4>6，满足三角形的三边关系，∴周长=4+4+6=14；当6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵4+6>6，满足三角形的三边关系，∴周长=6+6+4=16.综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.知1－练感悟新知1-1.已知等腰三角形的一边长为5，周长为20，则它的腰长为________

.知1－练感悟新知1-2.

[中考·苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC

是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_________．6感悟新知知2－讲知识点等腰三角形的性质定理21.对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．2.性质定理1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)

.3.性质定理2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)

.必须在同一个三角形中.它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.感悟新知知2－讲4.有关等腰三角形的性质的一些结论(拓展)(1)

等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.(2)

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角平分线)上任意一点到两腰的距离相等.知2－讲感悟新知特别提醒1.“等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.2.“三线合一”应用的前提必须是等腰三角形，且是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线重合，而同一腰上的高、中线则不一定重合.知2－练感悟新知[母题教材P160练习T2]如图17-1-1，在△ABC

中，AB=AC，BD，CE

分别是AC，AB

边上的高.求证：BD=CE.例2

知2－练感悟新知解题秘方：利用等腰三角形的性质定理为证明△BEC

和△CDB

全等创造条件.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知2-1.

[中考·烟台]如图，点C

为线段AB上一点，分别以AC，BC

为等腰三角形的底边，在AB

的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC

上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE，求证：DE=BF．知2－练感悟新知证明：∵△ACD，△BCE都是等腰三角形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCA，CE＝EB.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE.∴DC∥BE.∴∠DCE＝∠FEB.∵EF＝AD，AD＝CD，∴CD＝EF.又∵CE＝EB，∴△DCE≌△FEB(SAS)．∴DE＝BF.感悟新知知2－练如图17-1-2，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，

AM⊥CD，垂足为M.求证：CM=MD.例3知2－练感悟新知解题秘方：由已知AM⊥CD

和结论CM=MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此连接AC，AD，构造等腰三角形.知2－练感悟新知

知2－练感悟新知方法点拨：等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法：(1)如图17-1-3甲的情形，需作底边上的高；(2)如图17-1-3乙的情形，需作顶角平分线；(3)如图17-1-3丙的情形，需连接AD

并延长，再证是“三线”.知2－练感悟新知3-1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BEF=∠CFH，BE=CF，M

是EH的中点.求证：FM⊥EH.感悟新知知2－练如图17-1-4，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度数；(3)若BC=3cm，求BD

的长.例4

知2－练感悟新知解题秘方：紧扣等腰三角形的性质定理进行解答.解：∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分线得到高线.(1)求∠ADB的度数；知2－练感悟新知

(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度数；(3)若BC=3cm，求BD

的长.

由角平分线得到中线.知2－练感悟新知4-1.如图，在△ABC中，AB=AC=7cm，AD⊥BC于点D，点E

在AC上，且AE=AD.(1)若△ABC的周长是24cm，求线段BD的长；知2－练感悟新知(2)若∠B=50°，求∠CDE

的度数.感悟新知知3－讲知识点等边三角形的定义与性质定理31.等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.2.等边三角形的性质定理等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.感悟新知知3－讲3.等边三角形的其他性质(1)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(2)等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.知3－讲感悟新知特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，所以：(1)任意两边都可以作为腰；(2)任意一个角都可以作为顶角；(3)任意一边上都“三线合一”.知3－练感悟新知如图17-1-5，△ABC

是等边三角形，D，E，F

分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，求△DEF各个内角的度数.例5知3－练感悟新知解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°求角的度数.知3－练感悟新知解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=180°－∠AED－∠A=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠DEF=∠EFD=60°，∴△DEF各个内角的度数都是60°.知3－练感悟新知5-1.

[二模·廊坊广阳区]在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值，则∠1+∠2=___________.240°知3－练感悟新知[中考·荆州]如图17-1-6，BD

是等边三角形ABC

的中线，以D

为圆心，DB

的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE．求证：CD=CE.例6

解题秘方：利用等边三角形的性质，将线段的问题转化为角的问题.知3－练感悟新知

知3－练感悟新知6-1.如图，△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，AE=CF，BE=10，AF

与BE

相交于点D，AD=3.(1)求证：△ABF≌△BCE；知3－练感悟新知知3－练感悟新知(2)求DF

的长度.解：∵△ABF≌△BCE，∴AF＝BE＝10.又∵AF＝AD＋DF，AD＝3，∴DF＝7.感悟新知知4－讲知识点等腰三角形的判定定理41.判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)在同一个三角形中.感悟新知知4－讲2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点都是指同一个三角形中边角之间的对应关系不同点“等边对等角”(等腰三角形的性质)：两边相等→这两边所对的角相等.“等角对等边”(等腰三角形的判定)：两角相等→这两角所对的边相等

知4－讲感悟新知特别提醒1.等腰三角形的定义也是等腰三角形的一种判定方法.2.“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.感悟新知知4－讲3.已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形已知：如图17-1-7，线段a

和h.求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h.作法：如图17-1-8.(1)作线段BC=a.(2)作BC

的垂直平分线MN，交BC

于点D.(3)在射线DM上截取DA=h.(4)连接AB，AC.△ABC

即为所求.知4－讲感悟新知依据∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴AB=AC.∴△ABC为等腰三角形.感悟新知知4－练如图17-1-9，在△ABC

中，P

是BC

边上一点，过点P作BC

的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，且AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形.例7知4－练感悟新知解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形中两个内角相等即可.证明：∵AQ=AR，∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°.∴∠B=∠C.∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.知4－练感悟新知7-1.

[期末·邢台]如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD

平分∠ACB，DE∥AC，则图中的等腰三角形共有(

)

A.2个

B.3个C.4个

D.5个D感悟新知知4－练[母题教材P146习题A组T4]如图17-1-10，在△ABC

中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC

于点D，E.求证：DE=BD+AE.例8

知4－练感悟新知解题秘方：由平行线的性质结合角平分线的定义可证明DP=DB，PE=AE，即可证得结论.知4－练感悟新知证明：∵DE∥AB，∴∠ABP=∠DPB.∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP.∴∠DBP=∠DPB.∴DP=DB.同理可得EP=EA.∴DE=DP+EP=DB+EA，即DE=BD+AE.角平分线+平行线

等腰三角形.知4－练感悟新知8-1.

[期末·石家庄]如图，在△ABC

中，过点A

的直线DE∥BC，∠ABC

与∠ACB的平分线分别交DE

于E，D

两点，求证：DE=AB+AC.证明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠E.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE.∴∠E＝∠ABE.∴AB＝AE.同理可得AD＝AC，∴DE＝AD＋AE＝AB＋AC.感悟新知知5－讲知识点等边三角形的判定定理51.判定定理1

三个角都相等的三角形是等边三角形.2.判定定理2

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.感悟新知知5－讲

知5－讲感悟新知特别解读等边三角形的判定方法：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.感悟新知知5－练如图17-1-11，在等边三角形ABC中，∠ABC

和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC

的垂直平分线分别交BC

于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形.例9知5－练感悟新知解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠OEF=∠OFE=60°，得△OEF

是等边三角形.知5－练感悟新知证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵BO

平分∠ABC，∴∠OBE=30°.∵OB

的垂直平分线交BC于点E，∴OE=BE.∴∠BOE=∠OBE=30°.∴∠OEF=∠BOE+∠OBE=60°.同理可得∠OFE=60°.∴∠EOF=60°.∴∠OEF=∠OFE=∠EOF.∴△OEF

是等边三角形.知5－练感悟新知9-1.如图，△ABC

为等边三角形，∠1=∠2=∠3，求证：△DEF

是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°.又∵∠1＝∠2＝∠3，∠FDE＝∠ABE＋∠1，∴∠FDE＝∠ABE＋∠2＝∠ABC＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.∴△DEF是等边三角形．感悟新知知5－练如图17-1-12，点C

为线段AB

上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN，MC

相交于点E，BM，CN相交于点F，连接EF.求证：(1)

AN=BM；(2)△CEF

是等边三角形.例10

知5－练感悟新知解题秘方：要证AN=BM，只需证△A