导数压轴专题突破-第24讲 导数与三角函数完美结合问题（含答案及解析）

第24讲导数与三角函数完美结合问题【典型例题】例1．已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．（1）若，证明：；（2）若在上有唯一的极值点，求实数的取值范围．例2．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，对，，①证明：；②若恒成立，求实数的范围；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．例3．设函数，．（1）当，时，判断的单调性；（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．例4．设函数．（1）当，时，判断的单调性；（2）若当时，不等式有解，求证：．例5．已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．例6．已知函数，为的导数．（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围．例7．已知函数，为的导数．（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【同步练习】1．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．2．已知函数．求证：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点．3．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，讨论的零点个数．4．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在，有解，求的取值范围．5．已知函数，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）当，时，证明：．6．已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，，；（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围．7．已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．8．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，证明：对，，；（2）若函数在，上存在两个不同的零点，求实数的取值范围．9．已知函数．（1）若，讨论方程根的情况；（2）若，，讨论方程根的情况．10．已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间，上存在唯一极大值点；（2）在区间，上有且仅有一个零点．11．已知函数，其中为非零常数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．12．已知函数．（1）判断函数在上的单调性；（2）证明函数在内存在唯一的极值点，且．

第24讲导数与三角函数完美结合问题【典型例题】例1．已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．（1）若，证明：；（2）若在上有唯一的极值点，求实数的取值范围．【解析】（1）证明时，，令，则，（1分）当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，函数的极小值也是最小值为，（3分）所以，而，所以，即．（5分）（2）解在上有唯一的极值点等价于在上有唯一的变号零点，等价于，（6分）设，，，（7分），，当时，，，，在上为减函数，当时，，，，在上为增函数，函数的极小值也是最小值为，（10分）又，，（11分）所以当时，方程在上有唯一的变号零点，所以的取值范围是．（12分）例2．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，对，，①证明：；②若恒成立，求实数的范围；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．【解析】解：（1）①证明：当时，，则，，由于当时，，，故，在，上为增函数，又，当时，，在，上为增函数，，即得证；②依题意，在，上恒成立，设，则，由①可知，当时，，此时在，上单调递增，故，符合题意；当时，由①知，在，上为增函数，则必存在，，使得，且当，时，，当，时，，在，上单调递减，在，上单调递增，，不符合题意．综上，实数的取值范围为，；（2），则依题意有，在上有解，令，则在上恒成立，在上单调递减，又时，，时，，，，故实数的取值范围为．例3．设函数，．（1）当，时，判断的单调性；（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，当，时，，所以当，时，单调递增；所以，即，所以单调递增．（2）因为当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，令，所以，因为当时，，，，，所以，所以单调递增，所以，所以．例4．设函数．（1）当，时，判断的单调性；（2）若当时，不等式有解，求证：．【解析】解：（1），（2分）令，当，时，，（4分）所以当，时，单调递增；（5分）所以当，时，，所以当，时，单调递增．（6分）（2）证明：因为当时，不等式有解，所以当时，不等式有解，（7分）令，所以，（8分）因为当时，，，，，所以，所以单调递增，（10分）所以，所以．（12分）例5．已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．【解析】解：（1），，令，解得，，或，当或，时，，当，时，，在，，上单调递增，在，上单调递减．证明：（2），由（1）可知，，，，为周期函数且周期为，；（3）由，，，．．例6．已知函数，为的导数．（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，，则，当，时，为增函数，，当，时，，所以时，，为增函数，故，即的最小值为1．（2）方法一：令，，则时，恒成立，当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立，若，，则，在，上为增函数，又，，所以存在唯一，，使得，当，，使得，为减函数，当，时，，为增函数，又，，所以存在唯一，使得，故，时，，为增函数，，时，，为减函数，又，，所以，时，，为增函数，故，即恒成立，当时，由（1）可知在，上为增函数，且，，故存在唯一，使得，则当时，，为减函数，所以，此时与恒成立矛盾，综上所述，．方法二若，，则，，，①当时，，，，②当时，，，，，，单调递增，，，③当时，由（1）可知在，上为增函数，且，，故存在唯一，使得，则当时，，为减函数，所以，此时与恒成立矛盾，综上，当时，在，上恒成立．例7．已知函数，为的导数．（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，，则．当，时，为增函数，；当，时，．故时，，为增函数，故，即的最小值为1．（2）令，，则时，恒成立．当时，若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；若，则，在上为增函数，又，，故存在唯一，使得．当时，，为减函数；，时，，为增函数．又，，故存在唯一使得．故时，，为增函数；，时，，为减函数．又，，所以时，，为增函数，故，即恒成立；当时，由（1）可知在，上为增函数，且，，故存在唯一，使得．则当时，，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾．综上所述，．【同步练习】1．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解析】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．2．已知函数．求证：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点．【解析】证明：（1）因为，所以，设，则，则当时，，所以即在上递减．又，且是连续函数，故在上有唯一零点．当时，；当时，，所以在内递增，在上递减，故在上存在唯一极大值点．（2）因为，所以，设，则，则当时，，所以在内单调递减．由（1）知，在内递增，在内递减，又，所以，又的图象连续不断，所以存在，使得；当内时，，在内递减，又因为，且的图象连续不断，所以存在，使得；当时，，，所以，从而在上没有零点，综上，有且仅有两个零点．3．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，讨论的零点个数．【解析】解：（1）当时，，，．．当在区间，上变化时，，的变化如下表，0，000极大值极小值1极大值的单调增区间为，；的单调减区间为，，，．（2）任取，．，是偶函数．．当时，在，上恒成立，，时，．在，上单调递增．又，在，上有0个零点．又是偶函数，在，上有0个零点．当时，令，得．由可知存在唯一，使得．当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．，，．①当，即时，在，上有0个零点．由是偶函数知在，上有0个零点．②当，即时，在，上有1个零点．由是偶函数知在，上有2个零点．综上，当时，有2个零点；当时，有0个零点．4．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在，有解，求的取值范围．【解析】解：（1），当时，，可得；当时，，即．因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）在，有解，则，由（1）可知，递增，递减，，，，，．5．已知函数，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）当，时，证明：．【解析】解：由函数，知：．（1）当时，恒成立，在定义域上单调递增．（2）当时，令，解得，则，，变化情况如下表：0极小值的单调减区间为，单调增区间为．（1）当时，原不等式化为恒成立，可知．（2）当时，则，令，则，令，则，当时，，则，在上单调递减，，即，在上单调递减，，，，当，时，，，综上所述：．证明：（1）当时，，则，由可得时，，，则只需证明：成立，令，当时，，在，上单调递增，，，，．6．已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，，；（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，当时，，则所以在，上单调递减，；所以：，，；（2）函数在上存在两个极值点；则在上有两个不等实数根；即在上有两个不等实数根；即在上有两个不等实数根；设，则；当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，；故实数的取值范围为：7．已知函数，，为自然对数的底数．（1）当时，证明：，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，，则，当，时，，则，又因为，所以当，时，，仅时，，所以在，上是单调递减，所以，即．（2），因为，所以，，①当时，恒成立，所以在上单调递增，没有极值点．②当时，在区间上单调递增，因为，．当时，时，，所以在上单调递减，没有极值点．当时，，所以存在，使，当时，，，时，，所以在处取得极小值，为极小值点．综上可知，若函数在上存在极值点，则实数．8．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，证明：对，，；（2）若函数在，上存在两个不同的零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）当时，，则，且当时，在，上单调递增，，对，，；（2）令，则，令，函数在，上存在两个零点，即函数与函数在，上有两个不同的交点，由得，，令，则，，，或，当时，；当时，，在上单调递增，在，上单调递减，，又，，当，时，与有两个交点，的取值范围为：，．9．已知函数．（1）若，讨论方程根的情况；（2）若，，讨论方程根的情况．【解析】解：（1），，令，．此时①若，在递减，，无零点；②若，在递增，，无零点；③若，在递减，，递增，其中．Ⅰ．若，则，，此时在无零点；Ⅱ．若，则，，此时在有唯一零点；综上所述：当或时，无零点；当时，有1个零点．（2）解法一：，令，，①若，在递增，，无零点；②若，在递增，，递减，，递增．其中，显然，消元：，其中，令，，，即，，无零点．综上所述：，方程无解．解法二：令，．令，，．显然在递减，递增，递减，，，在递减，，递增，，递减，其中．且，由洛必达法则：，，由，．综上所述：，方程无解．10．已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间，上存在唯一极大值点；（2）在区间，上有且仅有一个零点．【解析】证明：（1）由题意知，函数的定义域为，，令，则，在，上单减，在，上单减，则在，上单减，又，存在，使得，当，时，，当，时，，即在区间，上单增，在，上单减，即为唯一的极大值点，即在区间，上存在唯一极大值点；（2）由（1）知，，且在区间，上存在唯一极大值点，在区间，上单增，在，上单减，而，，故在，上恒有，函数在，上单增，又，，在区间，上有且仅有一个零点．11．已知函数，其中为非零常数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．【解析】解：（1）．若，因为，，则，所以在上单调递增，符合要求．若，则当时，，从而，所以在上单调递减，不合要求．综上分析，的取值范围是．（2）令，则，即．设，则．①当时，，，则，，从而，所以单调递减．②当时，．因为，，则，从而单调递增．因为，，则在上有唯一零点，记为，且当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．③当时，．因为，，则，从而单调递减．因为，，则在内有唯一零点，记为，且当时，，单调递增；当，时，，单调递减．因为，，则当时，，所以单调递增．综上分