导数压轴专题突破-第34讲 恒成立问题与部分成立问题（含答案及解析）

第34讲恒成立问题与部分成立问题【典型例题】例1．已知不等式对恒成立，则取值范围为A． B． C． D．例2．当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．例3．已知函数，，若存在，使成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．例4．已知函数，．对任意的，，都存在，使得成立，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，例5．若关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是A． B． C． D．例6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，例7．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，例8．已知，，若关于的不等式恒成立，则的最大值为．例9．已知，，若任意，均存在使得成立，则实数的取值范围是．【同步练习】一．选择题1．已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是A． B．1 C． D．2．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最大值为A．1 B． C．2 D．3．若不等式对任意正数，恒成立，则实数的最大值为A． B．1 C．2 D．4．设函数，，，若对于任意的，都成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，5．已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，6．已知函数，，若对任意的存在，，使，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，7．若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是A．， B． C． D．8．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，9．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是A． B．，， C． D．10．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．，

第34讲恒成立问题与部分成立问题【典型例题】例1．已知不等式对恒成立，则取值范围为A． B． C． D．【解析】解：不等式对恒成立，即对恒成立，令，则，设的根为，故，则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，故，解得，所以实数的取值范围为．故选：．例2．当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：，，，不等式恒成立，或，或．解得．故选：．例3．已知函数，，若存在，使成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解析】解：存在，使成立，即，由于，所以可得当时，设，，由，可知在上递增，在上递减，由，可知在上递增，若存在时，，则临界状态是图象与相切，且图象位于上方，如图设此时函数与的切点横坐标为，则有，①，②由②可得，，即由①得，所以要满足时，，只需即可．故选：．例4．已知函数，．对任意的，，都存在，使得成立，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，【解析】解：对任意的，，都存在，使得成立，，．函数，，．当时，函数取得最小值（1）．又，（2）．函数的值域为，．，解得．实数的取值范围是，．故选：．例5．若关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：由，，得，又关于的不等式在，上有解，所以在，上有解，即，令，，，则，设，，，则，所以在，上单调递增，所以（2），所以，所以，即在，上单调递增，所以（4），则，所以的取值范围是，．故选：．例6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】解：因为，不等式成立，即，转化为恒成立，构造函数，可得，当时，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值（e），所以，所以实数的取值范围为，，故选：．例7．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：依题意，，即，即，设，，则在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，设，易知函数在单调递增，在单调递减，，则．故选：．例8．已知，，若关于的不等式恒成立，则的最大值为．【解析】解：令，，则，若，则，要使恒成立，则，此时；若，则，函数函数单调增，当时，，不可能恒有；若，由，得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以的最小值为，要使恒成立，则，得，则．令（a），则（a），令（a），得，当时，（a），（a）单调递增；当，时，（a），（a）单调递减，所以（a），则的最大值为．故答案为：．例9．已知，，若任意，均存在使得成立，则实数的取值范围是．【解析】解：若任意，均存在使得成立，等价于，，当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值；当时取得最大值为，所以，即实数的取值范围是，故答案为：，．【同步练习】一．选择题1．已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是A． B．1 C． D．【解析】解：时，不等式可化为，所以时，恒成立，令，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以，所以，即实数的最大值是1．故选：．2．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最大值为A．1 B． C．2 D．【解析】解：对任意正数，不等式恒成立，即恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为2．故选：．3．若不等式对任意正数，恒成立，则实数的最大值为A． B．1 C．2 D．【解析】解：由不等式可得，故小于或等于的最小值．，故的最小值等于，故，，故选：．4．设函数，，，若对于任意的，都成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】解：对于，先证明，，即，令，则，易知单调递增，且（2），则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；函数在处取最小值，此时（2）；再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，函数的导数为，当时，，即，综上，实数的取值范围为，，故选：．5．已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】解：当时，函数是减函数，，所以，；当时，，，①若，当时，．当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；所以（a），所以，即，解得；②若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意，③当时，的值域为，不合题意．综上所述，实数的取值范围为，．故选：．6．已知函数，，若对任意的存在，，使，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数，，若，，为增函数；若，或，为减函数；在上有极值，在处取极小值也是最小值（1）；，对称轴，，，当时，在处取最小值（1）；当时，在处取最小值（b）；当时，在，上是减函数，（2）；对任意，存在，，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，当时，，解得，故无解；当时，，解得，综上：，故选：．7．若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是A．， B． C． D．【解析】解：不等式对，恒成立，即为对，恒成立，等价为对，恒成立，由的导数为，在，，，解得，可得时，递增；时，递减，函数的图象如右图：由于直线和的图象都过原点，考虑直线和的图象相切，且切点为，可得切线的斜率为，由图象可得的范围是，．故选：．8．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：不等式对任意，恒成立，即为，即在恒成立，由，，由，可得递减，即有，即时，取得最大值，即有