新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.1直线的倾斜角与斜率-教学课件

2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定P30课程标准学法解读1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象)2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(数学抽象)3．掌握倾斜角和斜率之间的关系．(逻辑推理)4．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴________与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．2．直线的倾斜角α的取值范围为__________________．正向知识点1直线的倾斜角0°≤α＜180°

1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_________．正切值知识点2直线的斜率tanα

2．斜率与倾斜角的对应关系3．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_____.思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．题型探究题型一直线的倾斜角

已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°＜α＜180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？典例1[解析]

由题意画出如下草图．[规律方法]

1．求直线的倾斜角(1)根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角，再通过解三角形或其它方法求之．(2)先求出直线的斜率k，再由k＝tanα，求倾斜角α．2．倾斜角α与直线斜率值的关系：把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．对应的斜率k的值依次为0，正值，不存在，负值．【对点训练】❶

(1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是 (

)A．0°≤β＜180°

B．15°＜β＜180°C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195°(2)已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为__________________．[解析]

(1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜195°．(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°＜α1＜180°时，α2＝180°－α1．D

0°或180°－α1

题型二已知两点坐标求倾斜角和斜率

典例2[规律方法]

(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论．(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．C

A

－2

题型三斜率与倾斜角的应用

典例3B

题型四三点共线问题

若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝_____．典例46

[规律方法]

1．用斜率公式解决三点共线的方法2．直线的斜率与倾斜角的函数关系直线的斜率k＝tanα，0°≤α＜180°且α≠90°．【对点训练】❸

(1)若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于 (

)A．2 B．3C．9 D．－9(2)已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为______．D

易错警示忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误

求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．典例5[辨析]

当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m＞1，m＜1三种情况进行讨论．[误区警示]

在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．2.1直线的倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定课程标准学法解读1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直．3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．1．理解两条直线平行与垂直的条件．(数学抽象)2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)知识点1两条直线(不重合)平行的判定k1＝k2

k1k2＝－1

知识点2两条直线垂直的判定l1⊥l2

思考：两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．题型探究题型一两直线平行

判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．[分析]

斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．典例1[规律方法]

两直线平行的判定及应用1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．【对点训练】❶已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为________．0或1

题型二两直线垂直

(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．[分析]

(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0，若为0，则垂直．(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．典例2[解析]

(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2．(2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在．当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意．[规律方法]

两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k1k2＝－1，使用它的前提条件是两条直线斜率都存在，若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，此时两直线也垂直．【对点训练】❷

(1)两条相互垂直的直线l1，l2的斜率是方程x2－3x＋m－1＝0的两根，则m的值为(

)A．1 B．－1C．2 D．0(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为__________．D

5或－6

题型三平行与垂直的综合应用

角度1利用平行、垂直求点的坐标

已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为_____________．典例3(10，－6)

角度2平行、垂直在图形中的应用

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．典例4[分析]

利用两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．[规律方法]

关于直线平行，垂直的综合应用(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．【对点训练】❸

(1)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(

)A．(3,4) B．(4,3)C．(3,1) D．(3,8)(2)在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，