材料力学：平面应力状态下的应变研究

材料力学：应变分析平面应力状态下的应变研究oxy§5-2

平面应力状态下的应变研究一、任意方向的应变在所研究的O

点处,Oxy

坐标系内的线应变

x,

y,

xy

为已知。求该点沿任意方向的线应变

。xyo并规定

角以逆时针转动时为正值，反之为负值。将Oxy坐标绕O点旋转一个

角，得到一个新Ox’y’坐标系。

为O

点沿X‘

方向的线应变。

为直角

x’oy’

的改变量。（剪应变）xyo假设：（1）O点处沿任意方向的微段内,应变是均匀的。（2）变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立。xyo分别计算

x

，

y

，

xy

，单独存在时的线应变

和剪应变

，然后叠加得这些应变分量同时存在时的

和

。xyooxy1，推导线应变

PABdxdy从O点沿x’方向取出一微段OP=dx’,并以它作为矩形OAPB

的对角线。该矩形的两边长分别为dx

和dy

。oxyPABdxdyoxyPABdxdy（1）只有正值

x

存在假设OB

边不动。矩形OAPB

变形后成为OA‘P’B

。oxyPABdxdy的伸长量为D

oxyPABdxdyDO点沿

x’

方向的线应变

1

为

oxyPABdxdy（2）只有正值

y

存在假设OA

边不动。矩形OAPB

变形后为OAP”B‘。oxyPABdxdy的伸长量为

O点沿x’方向的线应变为oxyPABdxdy

（3）只有正值剪应变

xy

存在假设OA

边不动矩形OAPB

变形后为菱形OAP“‘B”。oxyPABdxdy使直角减小的

为正的伸长为oxyABdxdy

PoxyABdxdy

PO点沿x’

方向的

线应变为根据叠加原理，

x,

y

和

xy

同时存在时，O点沿x’方向的线应变为2，推导剪应变

（略）经三角变换后得：或写作：以上两式相似。二、应变圆以线应变

作为横坐标,而将(-/2)

作为纵坐标,便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆。o具体作法:以D1

(x,xy/2)D2(y,-xy/2)两点连线为直径画应变圆

/2三、主应变的数值与方向o在平面应力状态下，在此平面内一点处也存在着两个互相垂直的主应变

,其相应的剪应变等于零。

/2oA1和A2

两点的纵坐标等于零,

它们的横坐标分别代表两个主应变

1

,

2

。

/2两个主应变方向间的夹角等于90°,即两方向互相垂直。两个主应变的表达式为

0

为

1与x轴的夹角。o

/2主应变

1与x轴间所夹角度

0

为xybac例题:

用图示的45°应变花测得某构件表面上一点处的三个线应变值为

x=345×10-6,

45°=208×10-6,

y=-149×10-6。试用应变圆求该点处的主应变数值和方向。xybac解:(1)选适当的比例尺,

绘出纵坐标轴。

x=345×10-6

45°=

208×10-6

y=-149×10-6xybac(2)根据已知的

x，

450，

y

值分别作出平行于该轴的直线La，Lb，Lc。

x=345×10-6

45°=

208×10-6

y=-149×10-6xybac(3)过Lb

线上的任一点B,作与Lb成45°角(顺时针转向)的BA线，交La线于A点;BAxybacA(4)由B点作与Lb成45°角(逆时针转向)的

BC线,交Lc

线于C

点。CBxybacACO1(5)作与BA与BC两线的垂直等分线,相交于O1点Bxybac(6)过与O1点作横坐标轴轴,并以O1A（O1B或O1C）为半径作圆,即为应变圆。A