专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（原卷版）

专题04圆中的重要模型之圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（

）A． B． C． D．例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(

)．A． B． C． D．例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，已知是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心，则（1）的长是．（2）劣弧的长是．例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C．8 D．10例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是．

例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（

）A． B． C． D．例8．（2023春·江苏盐城·八年级校考期末）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为．例9．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，由折叠知，，连接，在中，，根据勾股定理得，，∴，通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．请同学们进一步研究以下问题：(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．课后专项训练1．（2023·湖北武汉·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（）A． B．2 C． D．2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为(

)

A． B． C．5 D．3．（2023·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（

）A．24 B．27 C．30 D．334．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北十堰·九年级统考期中）⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB于E，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（

）A． B．或 C． D．或6．（2023·广东广州·校考二模）如图,AB为O直径,点C为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20°,则∠DCA的度数是()A．30° B．40° C．50° D．60°7．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，的半径，弦，将沿向上翻折，与翻折后的弧相切于点，则的长为（

）A． B． C． D．8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．9．（2023·广西南宁·统考二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（

）

A． B． C． D．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为．（结果保留与根号）

11．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为．

12．（2023·四川成都·校考三模）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为．

13．（2023·江苏南京·统考二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则．

14．（2023·河南周口·统考一模）如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点B与圆心O重合，为折痕．若，则图中阴影部分的面积是．（结果保留）15．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是半圆上一点，是直径，将弧沿翻折交于点，再将弧沿翻折交于点，若是弧的中点，，则阴影部分面积为．16．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且．(1)求的大小及的长；(2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长．17．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片．(1)如图1，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数．(2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点．①如图2，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形．试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹．②在①的条件下，取的内心，则___________．③如图3，当在弧上三等分点S、之间（包括S、两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度．18．（2022秋·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案．甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．A．甲正确

B．乙正确

C．甲乙都正确

D．都不正确②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．(2)如图2，当经过圆心时，求的长；(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．19．（2023·江苏盐城·统考三模）如图1，扇形中，，，点在半径上，连接．

(1)把沿翻折，点的对称点为点．①当点刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点落在扇形外，与弧交于点，过点作，垂足为，探究之间的数量关系，并说明理由；(2)如图3，记扇形在