4.2.1 整式的加法与减法人教版七年级2024-2025学年数学

第四章

整式的加减

4.2整式的加法与减法思考：有理数的加法有那些运算律？分配律：a(b+c)=ab+ac交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h。汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道，如果汽车通过海底隧道需要ah，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，则香港口岸到西工岛的全长(单位:km)是

即

.72a＋96×1.25a72a＋120a1.如何计算72a+120a呢？学生活动一

【一起探究】2.按要求进行下列运算：(1)运用运算律计算：72×2+120×2=

.72×(-2)+120×(-2)=

.

(2)根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：72a+120a=

.

(72+120)×2＝192×2

(72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2）

(72+120)a＝192a根据以上探究过程完成下列题目：(1)72a-120a=(

)a=

.(2)3m2+2m2=(

)m2=

.(3)3xy2-4xy2=(

)xy2=

.思考：上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？72-1203+23-4-xy25m2-48a（1）中的多项式的项72a和-120a，它们含有相同的字母a，并且a的指数都是1；（2）中的多项式的项3m2和2m2，含有相同的字母m，并且m的指数都是2；（3）中的多项式的项3xy2与-4xy2，都含有字母x，y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。几个常数项也是同类项。计算：4x2+2x+7+3x-8x2-2解：4x2+2x+7+3x-8x2-2=4x2-8x2+2x+3x+7-2=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)（交换律）=-4x2+5x+5（结合律）=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)（分配律）学生活动二

【一起探究】合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。规定：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。例1

合并下列各式的同类项：（2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

(2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

=(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab

=(4-4)a2+(3-4)b2+2ab

=-b2+2ab

例2(1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，

其中(2)求多项式的值

其中解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=2x2+x2-3x2-5x+4x-2=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2=-x-2

例3（1）水库水位第一天连续下降了ah，平均每小时下降2cm，第二天连续上升了ah，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg，上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是-2acm,第二天水位的变化量是0.5acm，由可知,这两天水位总的变化情况为下降了1.5acm。-2a＋

0.5a＝（-2＋0.5）a＝

-1.5（2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是-3xkg，下午大米质量的变化量是4xkg,由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，进货后这个商店有大米6xkg

2.下列运算中正确的是（）

A．3a2-2a2=a2B．3a2-2a2=1

C．3x2-x2=3D．3x2-x=2xCA分配律：a(b+c)=ab+ac合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。合并同类项用到了什么运算律？问题1.计算：解法1：解法2：问题2.

港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h。如果汽车通过主桥需要bh，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h，你能用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度的和吗？主桥与海底隧道的长度的相差多少千米？

汽车通过主桥的行驶时间是bh，那么汽车在主桥上行驶的路程是

km，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h，那么汽车在海底隧道行驶的时间是

h,行驶的路程是

km，因此，主桥与海底隧道的长度的和(单位:km)为

①主桥与海底隧道长度的差(单位:km)为

②92b+72(b-0.15)92b-72(b-0.15)92b(b-0.15)72(b-0.15)1.上面的代数式①②要进行加减运算需要先如何做？92b+72(b-0.15)①92b-72(b-0.15)②需要先去括号学生活动一

【一起探究】2.上面的代数式①②应如何去括号进行化简？

92b+72(b-0.15)①92b-72(b-0.15)②可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项学生活动一

【一起探究】思考：请同学们根据以上探究过程总结一下去括号法则去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作1与-1分别相乘，得：+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3例1化简：（1）8a+2b+(5a-b)（2）(4y-5)-3(1-2y)为什么-3×（-2y）＝6y?解：（1）8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b（2）(4y-5)-3(1-2y)=4y-5-3+6y=10y-8.例2两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度是50km/h，水流速度是akm/h（1）2小时后两船相距多远？（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？解：(1)由题意得：2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(km).可知，2小时后两船相距200km。(2)由题意得：2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km)可知，2小时后甲船比乙船多航行4akm。1.下列去括号的式子中，正确的是（）A.a2–(2a–1)=a2–2a–1B.a2+(–2a–3)=a2–2a+3C.3a–[5b–(2c–1)]=3a–5b+2c–1D.–(a+b)+(c–d)=–a–b–c+dC2.不改变代数式的值，把代数式括号前的“–”号变成“＋”号，结果应是（）A.a+(b–3c)B.a+(–b–3c)C.a+(b+3c)D.a+(–b+3c)3.已知a–b=–3，c+d=2，则(b+c)–(a–d)的值为（）A.1B.5C.–5D.–1DB4.化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m–n)；（2）(5p–3q)–3(

)．解：（1）（2）思考：合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，同学们还记的合并同类项法则与去括号法则吗？合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。问题：用代数式表示百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c的三位数，再把这个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的差，这个差能被11整除吗？解：设这个三位数是100a+10b+c，交换后的三位数是100c+10b+a则：100a+10b+c-(100c+10b+a)=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)思考：解决上述问题时涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？思考：请同学们试着总结一下整式加减的法则。整式加减的法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。注意：去括号时，如果括号外边是负号，去括号时，括号内的各项都要变号。例1计算（1）（2）解:(1)(2x-3y)+(5x+4y)=2x-3y+5x+4y=7x+y(2)(8a-7b)-(4a-5b)=8a-7b-4a+5b=4a-2b例2做大、小两个长方形纸盒，尺寸如下表所示.（1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？（2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？类型长/cm宽/cm高/cm小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c解：小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca)cm2大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2（1）由题意，得：(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca=8ab+10bc+8c