2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第二章 整式的乘法（压轴题专练）（解析版）

第二章整式的乘法（压轴题专练）一、选择题1．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．【详解】原式=∵式中有乘数3的倍数∴∵不能被3整除∴原式中只能有1个3∴原式化为∴∴∵是自然数∴解得当时，，得；当时，，得；当时，，得；当时，，得；故选D．2．（2018上·山东威海·八年级校考期中）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是(

)A． B．±4x C． D．【答案】D【分析】分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x2是平方项时，4士4x+x²=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x；②当x2是乘积二倍项时，4+x2+=（2+）2，则可添加的项是；③若为单项式，则可加上-4.故选D.3．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”．给出下列说法：①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；②若多项式，则的所有系数之和为；③若多项式，则；④若多项式，则．则以上说法正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有6种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值．【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意；②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意；③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得，故③正确，符合题意；④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得，故④正确，符合题意；故选：D4．（2023上·湖北·九年级校考周测）若能被整除，则的值是（

）A． B． C．6 D．4【答案】A【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可．熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键．【详解】设，，，解得，，，，，故选：A．5．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若有两个整式，．下列结论中，正确的有（

）①当为关于的三次三项式时，则；②当多项式乘积不含时，则；③；④当能被整除时，；⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则．A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤【答案】C【分析】求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可．【详解】解：∵，，∴，当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；∵多项式乘积不含，∴，解得：，故说法②错误；当时，，即，当时，，即，∴，故③说法正确；∵能被整除，∴可设，∵∴，即，∴，∴，故④说法正确；当时，，当时，，∵当或时，无论和取何值，值总相等，∴且，解得：，故⑤说法正确；故选：C6．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论：①若为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在有理数，，使得的值为；③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定大于．上述结论中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据整式的乘法混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解．【详解】解：①，当时，．故①是错误的；②当，即，∴，当时，或者．所以②是正确的．③∵，∵不含x的一次项，∴，∴，∴，∴③是错误的；综上，只有②是正确的．故选：B．7．（2023下·山东济南·七年级统考期末）设，，．若，则的值是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解．【详解】，，，，，，，，，故选：C．8．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是（

）A．40 B． C． D．【答案】D【分析】可求，当时，即可化简求解．【详解】解：由题意得，当时，；因为所以，所以．故选：D．9．（2023下·重庆南川·八年级统考期末）有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题干所提供的运算方法，分别计算出第2项，的值；第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值，由规律可判断每个结论的正误即可．【详解】解：根据题意，第1项为，，第2项为，，第3项为，，第4项为，故①正确；，故②错误；若第2023项的值为0，即，即，，故③正确；当时，设①②①－②，得，，故④错误．故选B．10．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（）

A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差【答案】D【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．【详解】解：如图，设正方形的边长为，

则，，，∵长方形纸片的周长为，面积为，∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意；图中①的面积为，②的面积为，∴①和②的面积差为，∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意；∵长方形纸片和①的面积差为，∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意；故选：D．11．（2023下·四川成都·七年级统考期末）杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示：的展开式…根据上述材料，则的展开式中含项的系数为​（

）A．10 B． C．40 D．【答案】B【分析】由计算规律可得，的展开式中字母部分因式依次为，，，，，，结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可．【详解】解：结合“杨辉三角”可得的各项系数（不考虑符号）为：1，5，10，10，5，1；是由可得，符号为负号，系数为第三个系数10，∴项的系数为；故选：B．12．（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）关于的多项式：，其中为正整数，若各项系数各不相同且均不为0，我们称这样的多项式为“亲缘多项式”．①是“亲缘多项式”．②若多项式和均为“亲缘多项式”，则也是“亲缘多项式”．③多项式是“亲缘多项式”且．④关于的多项式，若，，为正整数，则为“亲缘多项式”．以上说法中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①将展开，进行判断即可；②合并同类项后，进行判断即可；③计算出，进行判断即可；④利用特殊值法进行判断即可．【详解】解：①，各项系数各不相同且均不为0，是“亲缘多项式”，故①正确；②，并不能确定各项系数各不相同且均不为0，不是“亲缘多项式”，故②错误；③，是“亲缘多项式”，，，；故③正确；④当，，时：，三次项和一次项的系数相同，不是“亲缘多项式”，故④错误；综上：正确的有2个；故选：B．13．（2023下·安徽宿州·七年级统考期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案.【详解】解：由题意，得．因为，，，，，，所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环．因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5，即的计算结果的末位数字为5．14．（2022上·江苏·八年级统考期末）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（

）A．－4 B．－5 C．4 D．5【答案】A【分析】先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可．【详解】，即时，的最大值为故选：A15．（2021·浙江·九年级自主招生）若实数x，y，z满足，求（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可．【详解】解：令，则∵，∴，整理得：，∵，∴，∵，，，∴，∵，即∴，∴，∵，，∵∵，∴，解得：，∴，故选：B．16．（2022下·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．【详解】因为，，，，因为，所以，所以，故即；同理可证所以，故选A．17．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，，两等式左右两边分别相减，可得到，将，利用完全平方公式，变为，再将上面的式子的值代入，问题得解．【详解】解：∵，，∴，即：，故答案为：C．18．（2022上·福建莆田·八年级校考期末）观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得=①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．【详解】解：由题意，得=(2-1)()=即=①，设=k②，由①+②得：，，即③，由①-②得：，即④，由④-③得：=，∴=k，解得：k=．故选：D．19．（2022下·陕西西安·七年级高新一中校考期中）的个位数字为（

）A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】将变形为，利用平方差公式求解．【详解】解：，∵，，，，……可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，∴的个位数为1，∴的个位数为0，∴的个位数可能是0或5，∴的个位数可能是1或6，观察选项可知，只有B选项为1，故选B．20．（2022下·福建泉州·九年级泉州五中校考开学考试）已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先将u转化为，然后再根据进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，当且仅当，即，，或，时，等号成立，∴的最小值为，∴最小值为：，即，∵，当且仅当时，即，，或，时等号成立，∴的最大值为，∴的最大值为，即，∴，故选：C．21．（2018下·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵，∴．故选：A．22．（2020上·河北邢台·八年级河北南宫中学校考期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11【答案】B【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．故答案为B．二、填空题23．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为若一个数能够写成（，均为正整数，且），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记．例如，所以或．若一个小于的三位数（其中，，且，，均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的的最大值为．【答案】【分析】根据新定义，可得百位数最小为1，再根据新定义确定十位数与个位数，即可得出最小的倍差数；由三位数小于，，得到的值，根据情况讨论，可得答案．【详解】解：依题意，最小的“倍差数”百位数最小为1，当十位为0时，则个位为1，∴最小的“倍差数”是∵三位数小于，，，，又∵是“倍差数”，当时，；当时，；当时，；当时，；，，∴或，∴或；而不是“不完全平方差数”，∴的最大值．故答案为：，．24．（2022下·福建泉州·七年级校考期中）设，，…，是从1，0，这三个数取值的一列数，若，，则，，…，中为0的个数是．【答案】179【分析】由题意可得，则，设有个1，个0，个，则，即可求解．【详解】∵，，，，设有个1，个0，个，∴，，，，，中为0的个数是179，故答案为：179．25．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数s与t，其中，（，，，且，，，为整数）．若能被整除，则的值为，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为．【答案】【分析】根据题意求得，结合题意可得，，推得所有可能情况，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵能被整除，，∴；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵为整数，∴或，∵，，∴当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，∵，，∴的值为：或，∴的最大值为：，故答案为：，．26．（2022上·江西新余·八年级统考阶段练习）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是．【答案】2或6【分析】可分析确定，进而或，分别求解；【详解】；∵，∴∴或解得或时，，时，，故答案为：2或627．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）阅读材料，回答下列问题：材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：．材料二：等式成立试求：（1）．（2）．【答案】220333300【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案；（2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案．【详解】解：（1），，原式，故答案为：220；（2），，原式，故答案为：333300．28．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）计算：．【答案】【分析】利用平方差公式将变形为，通过相邻的项约分化简即可求解．【详解】解：故答案为：．29．（2022上·江苏连云港·七年级校考期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，，设，则．

【答案】7【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解．【详解】解：由，可得：，由图①得：，由图②得：，∴，∴，∵，∴．故答案为：7．30．（2022上·四川成都·八年级校考期中）若正整数满足，这样的三个整数（如：或）我们称它们为一组“完美勾股数”．当时，共有组这样的“完美勾股数”．【答案】【分析】由于，，大于等于小于的非偶数完全平方数有，一共个，可得共有组这样的“完美勾股数”．【详解】解：∵∴，∵，n为正整数，∴为大于等于小于的非偶数完全平方数，这样的数有：，一共个，∴共有组这样的“完美勾股数”．故答案为：8．31．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是．【答案】12【分析】根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵，∴；∵，∴∴原式=，，∴原式．故原式的最大值是12；故答案为：12．32．（2023下·江苏苏州·七年级统考期中）填空：；；；…(1)；(2)猜想：；（其中为正整数，且）(3)利用（2）中的猜想的结论计算：①②．【答案】(1)(2)(3)①，②【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解；（2）根据题中条件总结归纳即可求解；（3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案．【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：，故答案为：；（2）解：根据上式猜想得：，故答案为：；（3）解：①∴，∴原式；②由题意可得：，∴∴．33．（2022上·北京海淀·七年级清华附中校考期末）设x，y满足，，则．【答案】【分析】将，两式相加，再利用立方和公式，求解即可．【详解】解：将，两式相加，可得，即，即，∵恒成立，∴，即，，故答案为：．34．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，且，则的值为．【答案】【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案．【详解】解：由，去分母，得，则∵∴原式故答案为：35．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）已知实数a，b，c满足，，则．【答案】/2.5【分析】灵活运用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴．故答案为：．三、解答题36．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________；(2)【解决问题】①若，，则_______；②当时，求的值．(3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和．【答案】(1)(2)①12；②2016；(3)52【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键；（1）根据图3是一个边长为的大正方形，是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出与之间的关系；（2）①先由完全平方公式得，再将，整体代入计算即可得出的值；②先设，，则，，，然后根据（1）的结论得，据此可得的值；（3）设，，则，，，再由完全平方公式得，据此可得的值．【详解】（1）解：如图3所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，另一方面：大正方形是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，，故答案为：．（2）解：①，，，，，，故答案为：12；②设，，，，，，由（1）可知：，，；（3）解：设，，，，图中阴影部分面积为24，，四边形和均为正方形，，，，．37．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)代数式的最大值为：；(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；(3)已知：，，求代数式的值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；（2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解；（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可．【详解】（1）解：，当时，由最大值，为，代数式的最大值为，故答案为：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．38．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．(1)填空：①_________；②若，则_________；③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）(2)若，且，求与的值；(3)若正整数，满足，，求的值．【答案】(1)①；②3；③0(2)3，1(3)3或6【分析】（1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可；（2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可；（3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可．【详解】（1）①解：由题意知，，故答案为：；②解：由题意知，，解得，，故答案为：3；③解：由题意知，，∴，故答案为：0；（2）解：∵，∴，整理得，，∵，∴，∴；∴的值为3，的值为1；（3）解：∵，，∴，∴，即，∵正整数，，∴，即，∴，即，∵，∴，整理得，，∴，∴当时，，（舍去）；当时，，（舍去）；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；综上所述，的值为3或6．39．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；与；与；与(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．【答案】(1)；(2)它们的“对消值”为；(3)代数式的最小值是．【分析】此题考查了求代数式值的能力，()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解；()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．【详解】（1）∵，,，∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，故答案为：；（2），，∵与互为“对消多项式”，，，，，∴它们的“对消值”为；（3），，，∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，∴，∴，，，，，，，，∴代数式的最小值是．40．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值．解：，，即．．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知，且满足，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)6(2)【分析】本题主要考查完全平方公式的运用．（1）先将整理得，再仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可；（2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可．熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键．【详解】（1），整理得：，，；（2）的倒数为，，．41．（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）阅读以下材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”.解决如下问题：(1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由：(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程；(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．【答案】(1)与是“幸福数对”，理由见解析(2)；证明见解析(3)和【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“幸福数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．（1）根据定义即可得到答案；（2）根据定义得：，化简得；（3）根据定义列等式，化简解方程可得的值，从而得出答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∴与是“幸福数对”（2）解：理由如下，依题意，，，，，，∴．即（3）解：由（2）可得即∴解得：，则，；，∴这两个两位数分别为：和．42．（2023上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．(3)若x满足，则的值为______；(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式；（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；（3）根据（2）中的方法可得到结果；（4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可；（5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，两种方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：设，，∵x满足，∴，∵，∴，∴的值为；（4）解：，A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片，则；（5）解：由图知，，∴，∵长方形的面积是24，∴，设，，则，，由，得，∴，∴，即，∴阴影部分的面积为．43．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）（1）已知，求的值．（2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值；（3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算：请按照小明的方法，计算．【答案】（1）72，详见解析（2），详见解析（3），详见解析【分析】（1）由，即可求得答案；（2）先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含的项和的项得到，据此求出m、n的值即可得到答案．（3）根据题意以及平方差公式即可求出答案．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵关于x的代数式的化简结果中不含的项和的项，∴，∴，（3）．44．（2021下·安徽六安·七年级校考阶段练习）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：(1)填空：；；；由此可得；(2)计算：；(3)根据以上结论，计算：【答案】(1)，，，；(2)；(3)．【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；（）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．【详解】（1），，，由此可得：，故答案为：，，，；（2），故答案为：；（3），,，．45．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：；由图3可得等式：；(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则；(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．①请画出拼出后的长方形；②；(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片