数字信号处理 序列的离散时间Fourier变换

序列的DTFT定义序列的DTFT性质*序列的DTFT的频域抽样序列的离散时间Fourier变换(DTFT)

序列的DTFT定义

对于某些满足条件的非周期序列x[k]，可以表达为虚指数序列ejWk

的线性叠加

不同的序列x[k]对应不同的加权系数X(ejW)，其计算表达式为:X(ejW

)是W的连续函数

X(ejW)是周期为2p的周期函数由X(ejW)的周期性，IDTFT可写为DTFT:序列的DTFT定义例：试求序列x[k]=aku[k]的DTFT。

当|a|>1时，求和不收敛，序列的DTFT不存在。

当|a|<1时，解：DTFT的收敛性

定义X(ejW)的部分和绝对可和一致收敛能量有限均方收敛

若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT

若序列满足能量有限，存在DTFT。（充分条件）例：N=10时N=60时序列不满足绝对可和，但能量有限。序列取不同的N值时，对应的DTFT如图所示。例：试求周期为2p的单位冲激函数的IDTFT。解：

该例说明绝对可和与平方可和只是DTFT存在的充分条件，不是必要条件。序列DTFT的性质相位谱f(W)的主值(principalvalue)区间为

-p<f(W)

p

序列的DTFTX(ejW)一般为W的复函数，可表达为幅度谱和相位谱的形式，也可表达为实部和虚部的形式。1.线性特性若则有序列DTFT的性质若则2.对称特性序列DTFT的性质2.对称特性当x[k]是实序列时，由于x[k]=x*[k]，所以有序列DTFT的性质小结实数对称性实数序列的Fourier变换满足共轭对称性幅度是

的偶函数幅角是

的奇函数实部是

的偶函数虚部是

的奇函数例：求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。p-pW解：0p2pW42.对称特性当x[k]为实偶对称序列时，由于x[k]=x*[-k]

，所以X(ejW)是W纯虚函数,且为奇对称当x[k]为实奇对称序列时，由于x[k]=-x*[-k]

，所以XR(ejW)=0;序列DTFT的性质例：试求序列y[k]的DTFT。若则

序列的时域位移对应频域的相移序列的时域相移对应频域的频移3.位移特性序列DTFT的性质例：已知x[k]的频谱如图所示，试求y[k]=x[k]cos(pk)的频谱。解：例：已知x[k]的频谱如图所示，试求y[k]=x[k]cos(pk)的频谱。解：4.卷积特性

序列时域的卷积对应频域的乘积序列时域的乘积对应频域的卷积序列DTFT的性质

序列时域的能量等于频域的能量证明:5.Parseval定理*序列DTFT的性质举例

已知序列，它的傅里叶变换，则________；_____________。2

DTFT的频域抽样

是周期为N的序列可否利用其样点序列表达X(ejW)?

结论：当序列长度不超过N时,周期化后的序列和原序列一个周期内的值相同。

当序列长度超过N时，周期化后的序列会出现混叠(aliasing)。DTFT的频域抽样X(ejW)在频域的离散化导致对应的时域序列x[k]的周期化.x(t)在时域的离散化导致对应的频谱函数X(jw)的周期化.

时域抽样定理和频域抽样定理为利用数字化方式分析和处理信号奠定了理论基础。时域抽样和频域抽样CTFTDTFTIDTFTIDFS例：已知有限序列x[k]={-1,-1,4,3；k=0,1,2,3}，序列x[k]的DTFT为X(ejW)。记X(ejW)在{W=2p

m/3;m=0,1,2}的取样值为X[m]，求IDFT{X[m]}

。IDFT{X[m]}=x[k]+x[k+3]={2,-1,4;k=0,1,2}解：X(ejW)在频域的离散化导致对应的时域序列x[k]的周期化.1.4离散系统的频域分析

离散系统的频率响应单频信号通过LTI系统的响应余弦信号通过LTI系统的响应任意信号通过LTI系统的响应一般周期信号通过LTI系统的响应离散系统的稳态响应和瞬态响应离散系统的相位延迟和群延迟理想数字滤波器离散系统的频率响应幅度响应(magnituderesponse)

相位响应(phaseresponse)离散系统的频率响应定义为:频响反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响。单频信号通过离散LTI系统的响应x[k]=ejWk;(-<k<)称为单频信号

余弦序列通过LTI系统的稳态响应

当系统输入为余弦序列时，则输出为同频率的余弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej

)|加权影响，而输出的相位则为输入相位与系统响应相位之和。?推导过程h[k]是实序列，故满足共轭对称条件：H(ej0)

的幅度偶对称，相角奇对称例：已知一离散LTI系统的h[k]=(0.5)ku[k]，输入

x[k]=cos(0.5pk)，(-∞<k<∞)求系统的稳态响应。举例已知系统函数:如果输入序列为：

则系统的稳态输出y[k]:______________任意序列通过离散LTI系统的响应由于存在所以有

线性相位系统的定义：f(W)=-k0W设输入序列为信号通过线性相位系统的响应序列通过线性相位系统的响应一般周期序列通过离散LTI系统的响应由于存在所以有离散LTI系统的稳态响应和瞬态响应信号x[k]=ejWku[k]通过系统的响应

系统的稳态响应(steady-stateresponse)

系统的瞬态响应(transientresponse)

对于BIBO稳定的系统

对于h[k]的非零范围为0

k

N-1的FIR系统当k

N-1时，离散LTI系统的稳态响应和瞬态响应离散系统的相位延迟和群延迟系统的相位延迟系统的群延迟tg(W)(groupdelay)输入序列x[k]=d[k]cos(Wck)通过LTI系统的响应

理想数字滤波器理想低通滤波器理想高通滤波器理想带通滤波器理想带阻滤波器例:

已知输入信号为角频率分别为0.1和0.4的离散正弦信号。设计简单FIR高通滤波器,滤除低频分量，保留高频分量。群延迟:

为了滤除低频分量，保留高频分量则要求解：假设该DF是一个具有如下形式的长度为3的FIR系统

h[0]=h[2]=a,h[1]=b

系统的频率响应为解上述的方程组得：满足要求的FIRDF的差分方程为：

y[k]=x[k]*h[k]=x[k]*(ad[k]+bd[k-1]+a