共形映射 分式线形函数及其映射性质

第六章共形映射掌握共形映射的概念；掌握解析函数的映射的几个重要性质；掌握分式线性映射的主要性质；掌握几个初等函数构成的映射

第一节共形映射的概念正确理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念；掌握解析函数的映射的保域性、保伸缩率及旋转角的性质；伸缩率与旋转角

可以看出，曲线被伸缩和旋转。如图，过点的曲线经映射后，变成了过点的曲线

1.伸缩率

切线

2.旋转角

切线

伸缩率和旋转角定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征。

导数的定义

一、导数的几何意义切线

切线

切线

切线

1.导数的几何意义

为曲线在点的伸缩率。

为曲线在点的旋转角。

结论:导数的几何意义表现为切线

切线

2.伸缩率不变性

切线

切线

3.旋转角不变性

4.保角性即保持了两条曲线的交角的大小与方向不变。

切线

切线

二、共形映射的概念三、共形映射的基本问题对于问题一，有下面两个定理对于问题二，有下面定理掌握分式线性函数的映射性质第二节分式线性函数一、分式线性函数的定义分式线性函数是指下列形状的函数：其中是复常数，而且。在时，我们也称它为整线性函数。分式线性函数的反函数为它也是分式线性函数，其中

注：(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平面。(2)当时，规定它把映射成；(3)当时，规定它把映射成二、分式线性函数的拓广保形映射的概念可以扩充到无穷远点及其邻域。把及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把及其一个邻域保形映射成及其一个邻域。如果注：分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。如果把及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把及其一个邻域保形映射成及其一个邻域。三、分式线性函数的分解一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、（为一个复数）；（2）、（为一个实数）；（3）、（r为一个正数）；（4）、。事实上，我们有：（2）、确定一个旋转；（3）、确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、是由映射及关于实轴的对称映射叠合而得。（1）、确定一个平移；把z及w看作同一个复平面上的点，则有：四、映射的性质1、保圆性规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理6.6在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及型的函数所确定的映射复合而得。但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射也把圆映射为圆即可。在圆的方程中（如果a=0，这表示一条直线），代入则得圆的复数表示：其中a,b,c,d是实常数，是复常数。函数把圆映射成为即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。注解：(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，及，其边界分别是C及C'。(2)、映射后的区域的象究竟是还是，必须通过检验其中某一个点的象来决定。定理6.7对于扩充

z平面上任意三个不同的点以及扩充

w平面上任意三个不同的点存在唯一的分式线性函数，把依次分别映射成2、保形性证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是那么，由得同理，有：因此，有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。显然这样的分式线性函数也是唯一的。

和分别称为及的交比。分别记为，注：推论在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充

z平面上任意不同四点映射成扩充

w平面上四点，那么定理6.8扩充

z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充

w平面上任何圆。证明：设C是z平面上的一个圆，C‘是w平面上的一个圆，在C和C’上分别取三个不同的点，由定理6.7，存在一个分式线性函数，把映射成，从而把圆C映射成圆C‘。设已给圆3、保对称点性如果两个有限点及在过的同一射线上，并且那么我们说它们是关于圆C的对称点。注解1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点；2、规定及是关于圆C的对称点；3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点。引理6.1不同两点及是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过及的任何圆与圆C正交。证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆，及之中有一个是无穷远点，则结论显然。必要性设及关于圆C的对称，那么通过及的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C正交。而及都是有限的情形。现在考虑圆C为作过z1及z2的任何圆C‘

（半径为有限）；过z0作圆C‘的切线，设其切点是z’，于是从而这说明z’∈C

。从而上述C'的切线恰好是圆C的半径，因此C与C'直交。显然，z1及z2在这切线的同一侧。又过z1及z2作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心z0。于是z1及z2在通过z0的一条射线上。充分性过z1及z2作一个圆C‘

（半径为有限），与C交于一点z’。由于圆C与C‘正交，C’在z‘的切线通过圆C的心z0。则因此，z1及z2是关于圆C的对称点。定理6.9(保圆的对称性）如果分式线性函数把

z平面上圆C映射成

w平面上的圆C‘，那么它把关于圆C的对称点z1及z2映射成关于圆C‘的对称点w1及w2

。证明：过w1及w2的任何圆是由过z1及z2的圆映射得来的。由引理6.1，过z1及z2的任何圆与圆C直交。从而由分式线性函数的保形性，过w1及w2的任何圆与圆C‘直交。再利用引理6.1，w1及w2是关于圆C'的对称点。分式线性函数把w1及w2映射成关于圆w|=R的对称点0及∞，把扩充z平面上的曲线映射为圆w|=R。由定理6.1、定理6.9知，上式表示一个圆，z1及z2是关于它对称点。例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。五、两个特殊的分式线性函数(1)、上半平面Imz>0保形映射成单位圆|w|<1内部的分式线性函数解：该函数应当一方面把Imz>0内某一点z0

映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把z0映射成w=0，而且把映射成w=∞。因此这种函数的形状是：其中是一个复常数。其次，如果z是实数，那么于是，其中是一个实常数。由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1。又因为当z=z0时，|w|=0<1，因此该函数正是所要求的。因此所求的函数应是注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过z0

及的圆在上半平面的弧映射成的；2、以w=0为心的圆由以z0及为对称点的圆映射成的；3、w=0是由z=z0

映射成的。(2)、把单位圆|z|<1保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性函数解：首先，这种函数应当把|z|<1内某一点z0

映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不难看出，与z0关于圆|z|=1的对称点是，和上面一样，这种函数还应当把映射成因此这种函数的形状是：其中是一个复常数。其次，如果|z|=1时，那么于是因此，其中是一个实常数。所求的函数应是由于当|