2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第四章 相交线与平行线（知识归纳+题型突破）（解析版）

第四章相交线与平行线（知识归纳+题型突破）1、理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质．2、理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线．3、能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．4、掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．5、理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.6、识别同位角、内错角、同旁内角.7、理解平行线的概念.8、掌握平行线基本事实I：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.9、掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.10、探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.11、掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.12、探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.13、能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.14、能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.15、了解平行于同一条直线的两条直线平行.一、知识框架二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。5.同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角。同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。6.命题：判断一件事情的语句叫命题。7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。12.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角互补，两直线平行。题型一平面上两条直线的位置关系【例1】（23-24七年级上·山东聊城·期中）平面上的三条直线最多可将平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键．【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分，故选C．【例2】平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【分析】先求出m、n的值，再代入求解．【详解】解：平面内两两相交的3条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点，∴m=3，n=1∴m+n=4，故选A.【例3】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，直线和相交于点O，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是对顶角的性质，利用对顶角相等可得答案．【详解】解：∵，∴，故选B【例4】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（）A．与是同位角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角【答案】D【分析】根据同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键．【详解】解：A.与是同位角，选项正确，不符合题意；

B.与是内错角，选项正确，不符合题意；

C.与是同旁内角，选项正确，不符合题意；

D.，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．

故选：D．巩固训练：1．如下图，在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（1）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（2）），画条直线，最多能把白纸分成部分（如图（3）），......，当在一张白纸上画条直线，最多能把白纸分成（）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分【答案】D【分析】首先根据题意总结出画条直线，最多能把这张纸分成块，然后当时，代入即可.【详解】画1条直线，最多能把这张纸分成1+1=2块；画2条直线，最多能把这张纸分成1+1+2=4块；画3条直线，最多能把这张纸分成1+1+2+3=7块；画条直线，最多能把这张纸分成块；则画条直线，最多能把白纸分成块；故答案为D.2．（23-24七年级下·全国·课后作业）当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫做光的折射．如图，直线与相交于点，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，那么光的传播方向改变了（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得出，再求出的度数即可得解．【详解】解：，与是对顶角，．，，光的传播方向改变了．故选：C．3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，下列结论错误的是（

）A．与是邻补角 B．与是同位角C．与是内错角 D．与是同旁内角【答案】C【分析】本题考查了邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A、两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；故与是邻补角；A选项不符合题意；B、两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；故与是同位角；B选项不符合题意；C、两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；故与不是内错角；C选项符合题意；D、两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内；故与是同旁内角；D选项不符合题意；故选：C．4．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角有（）A． B．或 C．或 D．或或【答案】B【分析】本题考查了同位角，根据同位角的定义，即可得到答案．【详解】解：由图形可知，的同位角有或，故选：B．5．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（

）A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角【答案】A【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知它们构成的一对角可以看成是同位角，故选：A．6．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，三条直线两两相交，与是角，与是角，与是角．【答案】邻补内错同位【分析】本题考查了邻补角、同位角以及内错角的定义，根据相关定义逐个判断即可.【详解】解：由图可知：与是邻补角，与是内错角，与是同位角，故答案为：①邻补；②内错；③同位7．（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，直线a、b相交于点O，若，则度．【答案】160【分析】本题考查了对顶角相等以及领补角互补的性质，先由对顶角相等，得出，再根据领补角互补的性质，列式计算，即可作答．【详解】解：∵，且为对顶角∴∵∴故答案为：1608．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）若一个角的邻补角等于它的对顶角，则这个角的度数为度．【答案】【分析】本题考查了邻补角和对顶角等知识点，熟记相关结论即可．设这个角的度数为度，则其邻补角为：度，对顶角为度，据此即可列方程求解．【详解】解：设这个角的度数为度，则其邻补角为：度，对顶角为度，故：，解得：故答案为：．9．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．（1）写出图中的对顶角，的补角是；（2）已知，且，则的度数为．【答案】///度【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算：（1）根据补角和对顶角的定义求解即可；（2）先求出，再由平角的定义即可求出答案．【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是，故答案为：；；（2）∵，且，∴，∴，故答案为：．10．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数）(1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个；(2)【再探】当时，交点个数最多有________个；(3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点；(4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？【答案】(1)2；3或5(2)9(3)(4)65；130对【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可；（2）按要求画出图形，数一数即可；（3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解；（4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求．【详解】（1）解：当时，如图：故答案：．当时，如图故答案：3或5．（2）解：当时，如图故答案：．（3）解：由（1）（2）得：当时，交点个数最多：；当时，交点个数最多：；当时，交点个数最多：；．．．．．．条直线时，交点个数最多：

故答案：．（4）解：当时，，．答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角．11．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．

(1)图（1）中共有对对顶角，对邻补角．(2)图（2）中共有对对顶角，对邻补角．(3)图（3）中共有对对顶角，对邻补角．(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角．(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？【答案】(1)2，4(2)6，12(3)12，24(4)(5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解．（1）根据图形直接得出答案即可；（2）根据图形直接得出答案即可；（3）根据图形直接得出答案即可；（4）由特殊情况总结出一般规律；（5）再由（4）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角，故答案为：2，4；（2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角，故答案为：6，12；（3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角，故答案为：12，24；（4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角，故答案为：，；（5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角，题型二平移【例1】（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．【详解】解：A、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；B、图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；C、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；D、图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．故选：B．【例2】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为．【答案】/20厘米【分析】本题考查了平移的性质．先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：沿方向平移得到，，，的周长为，，四边形的周长．故答案为：．【例3】（23-24七年级下·河南·阶段练习）如图，三角形的边长为，将三角形向右平移得到三角形，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了长方形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形的面积解答即可．【详解】解：由平移可知，的面积等于的面积，三角形向右平移得到三角形又长为，∴阴影部分的面积等于长方形的面积，故选D．【例4】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某公园内有一长方形花坛，想在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，现有如图所示甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），则关于两种设计方案中的小路，以下说法正确的是（

）A．面积相等，周长不相等 B．面积不相等，周长相等C．面积和周长都相等 D．面积和周长都不相等【答案】C【分析】本题考查了生活中的平移，利用平移把不规则的图形变为规则图形是解题的关键，将甲不规则的图形变为规则图形即可求解．【详解】解：将甲中部分小路平移，如图：则甲乙种设计方案中的小路面积和周长都相等，故选：C．巩固训练1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直径为4的第一个圆向右平移得到第二个圆，若图中阴影部分的周长为，则平移的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平移的性质，圆的周长，设平移距离为，根据题意，得到，进行求解即可．【详解】解：设平移距离为，由题意，得：，∴，故选A．2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为12，则阴影部分的面积（

）A．160 B．168 C．180 D．192【答案】D【分析】本题考查平移的性质，先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：由平移的性质可知，，，，阴影部分的面积，平移距离为12，，，，，，阴影部分的面积为：，

故选：D．3．（2024·云南·模拟预测）如图，中，，把沿直线向右平移3个单位长度得到，则四边形的面积是（

）

A．22 B．18 C．15 D．24【答案】C【分析】本题主要考查图形平移的性质，勾股定理，几何图形面积的计算，掌握平移图形对应边相等是解题的关键．根据平移可得，根据勾股定理可求出的值，最后根据梯形的面积的计算方法即可求解．【详解】解：∵把沿直线向右平移个单位长度得到，∴，,在中，∵，∴，∵，∴四边形是梯形，∴四边形的面积，故选：C．4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系进行求解即可．【详解】解：由平移的性质可得，∵，∴，故选：B．5．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平移的性质，由平移可得，，再求出矩形的面积和的面积，相减即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：由平移可得，，∵的面积为，矩形的面积为，∴阴影部分的面积为，故选：．6．（23-24七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，则点平移的距离为．【答案】5【分析】本题考查数轴、平移的性质，平移过程中图形上所有的点发生相同的平移，即所有的点的平移方向和平移的距离都相同．将点的平移距离转化为数轴上的点平移到点4的距离，再根据两点间距离即可求解．【详解】解：三角形纸板紧靠数轴平移过程中，∵点平移到点4，平移距离为，∴点平移的距离也为5，即．故答案为：5．7．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是一块长方形场地，米，米，从两处入口的小路都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为米．【答案】【分析】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．【详解】解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，宽为米．所以草坪的面积应该是长宽（米）．故答案为：．8．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形，阴影部分面积为．【答案】【分析】主要考查平移的性质及图形的面积，理解题意，掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可判断，，求出，根据平移得出，说明，即可得出答案．【详解】解：根据平移可知，，，∴，∵原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形，∴，∴，∴，故答案为：．9．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图所示，三角形的边在数轴上，，将三角形沿数轴的负方向平移至三角形的位置(1)和的数量关系为，位置关系为；度；(2)若点D表示的数为，点A表示的数为0，点C表示的数为4①求点F表示的数；②若，求四边形的周长【答案】(1)，90(2)①点F表示的数是，②四边形的周长【分析】本题考查了平移的性质，数轴上两点间的距离，（1）根据平移的性质，得到对应边平行且相等，即可解决；（2）①根据平移性质得出，即可求出结论；②根据平移性质求出，进而求出结论．【详解】（1）解：由平移得：，，，，故答案为：，90；（2）①点D表示的数为，点A表示的数为0，，根据平移性质得：，点C表示的数为4，点F表示的数是；②根据平移性质得：，，四边形的周长．10．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，是由沿箭头方向平移得到的．(1)若，求的度数；(2)若，求的长；(3)若，求，的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．（1）根据平移前后对应角相等，得出结果即可；（2）根据平移前后对应线段相等，即可得出答案；（3）根据平移性质进行解答即可．【详解】（1）解：∵是由沿箭头方向平移得到的，∴点E与点A对应，点F与点B对应，点G与点C对应，∴，，，∵，∴．（2）解：∵，∴．（3）解：∵，∴．题型三平行线的性质与判定【例1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，则的度数是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查邻补角和平行线的性质，根据两直线平行同位角相等可得出，再结合邻补角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴．故选：C．【例2】（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为，本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答，解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．【详解】解：如图：根据题意可知，，∵，∴，∴，故选：．【例3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（）A．42 B．47 C．63 D．85【答案】D【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可．【详解】解：∵，，，，…，∴∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环，∴（为自然数），，，，因为，，，，∴若，则的值可以是85，故选D．【例4】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）根据解答过程填空（理由或数学式）已知：如图，平分交于点，求证：．证明：（已知），（______），（______），平分（已知），（______），（等量代换），（已知），（等量代换），（______），（______）．【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．先根据同旁内角互补，两直线平行证得，再根据两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义即可证得，结合已知可证得，再根据同位角相等，两直线平行得出，从而得到．【详解】证明：（已知），（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），平分（已知），（角平分线的定义），（等量代换），（已知），（等量代换），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等）．【例5】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知，，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；（2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．巩固训练1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图：，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，，即可求出的度数．【详解】解：平分，，∵，，，，．故选：C．2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点在直线上，点在直线上，且直线∥MN，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．由，得到，由三角形外角的性质得到．【详解】解：如图，，，，．故选：D3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，．若，则的度数为．【答案】/105度【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点C作，则有，然后根据平行线的性质可进行求解．【详解】解：过点C作，如图所示：∵，∴，∵，，∴，，∴．故答案为：．4．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则度．【答案】【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解．【详解】解：，，，，，平分，，，，，故答案为：116．5．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为．【答案】100°【分析】本题考查平行线的性质，根据得到，根据求出即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是．

【答案】/75度【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到，由的度数求出的度数，即可得到的度数．【详解】解：如图，

由题意得：，，，，，故答案为：．7．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是度．【答案】160【分析】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解此题的关键．首先过点B作，又由已知，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案．【详解】解：过点B作，由已知可得：，∴，∴，，∴，∴．故答案为：1608．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则．

【答案】52°/52度【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【详解】解：由已知可得，，∵，∴，∵∴．故答案为：52°．

9．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，直线被直线所截，添加一个条件，使．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键，根据平行线的判定定理分析即可得解．【详解】解：∵，∴，故答案为：（答案不唯一）10．（23-24七年级下·江苏·周测）如图，，，，求和的度数．

【答案】，【分析】本题考查了平行线的性质；由平行线的性质得，，即可求解；掌握平行线的性质：“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．”是解题的关键．【详解】解：，，，，，故：，．11．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）如图，已知，求证：．

【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．先根据内错角相等、两直线平行，同位角相等直线平行得到、，然后根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论．【详解】证明：，，，，．12．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，证得即可求证．【详解】证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴．13．（23-24七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，有2024条互不重合的直线，若，，以此类推，试判断和的位置关系．【答案】，理由见解析【分析】首先根据题意判断与的关系，即可得到规律：，四个一循环，再求2024与4的商，即可求得和的位置关系．此题考查了平行线与垂线的关系．注意找到规律：，四个一循环，是解此题的关键．【详解】解：，理由如下：∵，∴∵，∴l1∥l4．∵．∴．∵，∴∵，∴∴可得规律为，∴，，……，，……．∵，∴．14．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，．求证：．证明：（

），又，（

），（

），（

），又，，（

）．【答案】见解析【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等；掌握平行线的性质和判定是解题的关键．结合平行线的性质，判定定理证明即可．【详解】证明：（对顶角相等），又，（等量代换），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），又，，（内错角相等，两直线平行）．题型四根据平行线的性质与判定探究角的度数与关系【例1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，．图1

图2

图3(1)【操作发现】如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，则______；(2)【探索证明】如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展应用】如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线所夹锐角的度数．【答案】(1)35(2)理由见解析(3)或【分析】本题考查了含三角板的角度计算，角度的和差计算，平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解题关键．（1）过点C作，通过两直线平行内错角相等可求得，结合题意即可求出结果；（2）过点作，可知，，求出的度数，结合平行线性质以及平角的定义得，即可求出最后结果；（3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，②当在直线的下方时，进行求解即可．【详解】（1）解：如图，过点C作，，，，，，，，，故答案为：35；（2）（或）．理由如下：如图1，过点作．图1，，，，，，，，；（3）根据题意，有两种情况：①当在直线的上方时，如下图：，，，设，则，点放在直线上且保持不动，，，解得：，，，，；②当在直线的下方时，如下图：，，，设，则，，点放在直线上且保持不动，，，解得：，，，，．综上所述，射线与直线所夹锐角的度数为或．【例2】（23-24七年级上·四川遂宁·期末）如图，直线，直线与分别交于点G，H，．小明将一个直角三角形按如图①放置，使点N、M分别在直线上，且在点C、H的右侧，．(1)填空：度；(2)若的平分线交直线于点O，如图②．①当时，求α的度数；②小明将三角形沿直线左右移动，保持，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）．【答案】(1)90(2)①；②或【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．（1）过P点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【详解】（1）过P点作，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：（或）；（2）①∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；②点N在G的右侧时，如图②，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；点N在G的左侧时，如图，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，综上所述，的度数为或．【例3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知为直线上一点，动点在直线上（在的右侧）且满足在外部且平分交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，，根据。消去x即可得到与之间的数量关系．（3）根据，，得到，，根据题意，，，根据平行线的判定，分类计算即可．【详解】（1）∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵,∴．（2）与之间的数量关系为：．理由如下：设，则，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴．（3）∵，，，∴，，∴，，根据题意，，，如图，当时，，∴，解得；如图，当时，，∵，，∴，∴，∴，解得；如图，当时，，∵，，∴，∴，解得；如图，当时，，∵，，∴，∴，解得，舍去；综上所述，当或或时，射线和射线平行．【例4】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．

(1)如图①，若，求的度数．(2)如图②，若，平分，求的度数．(3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．（1）根据平角的定义和已知角求解即可；（2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案；（3）根据t的取值范围分别进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2），,平分，∴，∴；（3）由得当时，，解得，（舍）；当时，，解得，；当时，，解得（舍）；当时，，解得，，综上所述，或．巩固训练1．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为之间一点，求证：．小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：如图①，过点作．（已知），（_______），（_______），（等式的基本性质），．（2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点在直线上，点在直线上，直线分别平分，且交于点．猜想并证明与的数量关系．（3）【拓展】如图③，，直线与分别交于点，点在上，点在上，，若动点在线段上移动（不与重合），连接和的平分线交于点，补全图形（不必尺规作图），请直接写出与的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2），证明见解析；（3）见解析，【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质定理．（1）感知：根据平行线的性质可以直接求解；（2）应用：分别过作直线的平行线，将根据平行线的性质，将表示成与相关的角，最后通过等量代换找到与的等量关系，进而求解；（3）先根据题目要求补全图形，过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与及之间的关系；【详解】（1）感知：证明：如图①，过点P作．∵，（已知），∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∴，（两直线平行，内错角相等），∴（等式性质），∴．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等；（2）应用：，证明：过F作，过E作；如下图：则有，∴，∴，即，又∵、为角平分线，∴，∴，即，根据，有，，即，∴；（3）如图所示，过作，∵，，∴，同理过作，，设平分的角分别为，∴,，∴，同理，，可得到，又∵，∴，即．2．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】（1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，所以______，因为，所以，所以______，因为，所以．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．【方法应用】（3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．【应用拓展】（4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）（4）【分析】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，角平分线的性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键．（1）根据题干的推理信息可得答案；（2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明；（3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可；（4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可．【详解】解：（1）过点作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．（2）过点作，∴，∵，∴，

∴，∴，∴；（3）过点作，如图2所示：∴，∵，∴，∴，∴，即∵，，∴．（4）∵、分别是和的平分线，∴，，过点作，如图3所示：∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴．3．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．(1)如图1，、、之间的数量关系为．(2)如图2，、、之间的数量关系为．(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．①若，求的度数．②猜想规律：与的数量关系可表示为．③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是．【答案】(1)(2)(3)①；②；③【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系以及角平分线的有关计算，掌握相关结论，学会举一反三是解题关键．（1）作，根据、即可求解；（2）作，根据、即可求解；（3）结合（1）（2）的结论即可求解；【详解】（1）解：作，如图所示：∵，∴，∴、∴、故答案为：（2）解：作，如图所示：∵，∴，∴、∴即：故答案为：（3）解：作，，如图所示：∵，∴，若，由（1）可得：∴∵，分别平分和，∴由（2）可得：即：∴由（1）可得：∴∵，分别平分和，∴由（2）可得：即：∴故答案为：由②得：∵与的角平分线交于点，∴…依此类推：，，….,∴故答案为：4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与．(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．(2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P落在外．①直接写出、、的数量关系为______．②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．【详解】（1）解：如图1，过P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如图2，过作，，，，，，过P作，同理可得，，与的角平分线相交于点K，，；（3）解：①如图3，过P作，，，，，，故答案为：；②如图3，过K作，，，，，，由①知，，与的角平分线相交于点K，，．5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．(1)求的度数，若，请直接用含的式子表示；(2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当时，请直接写出的度数．【答案】(1)，(2)不改变，恒为，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．（1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可；（2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答；（3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数．【详解】（1）解：∵，，∴，∴∵分别平分和，∴∴；若,∵，．∴，∴∵分别平分和，∴∴．（2）解：不变．恒为，理由如下：∵，∴∵平分，∴，∴．（3）解：∵，∴，当时，则有，∴，∴，∴．6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，，(1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线上，若，则°(2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线上，交于点H，若，，试求、之间的数量关系；(3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了平行线的性质，过“拐点”构造平行线是解题关键．（1）作，根据、即可求解；（2）作，根据、即可求解；（3）根据题意画出满足条件的几何图，分类讨论求出旋转角度即可求解．【详解】（1）解：作，如图所示：∵，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：作，如图所示：∵，，∴，∴，∵，∴，即：；（3）解：∵，，∴，时，如图所示：此时：，旋转角度，∴；时，如图所示：此时：旋转角度，∴；时，如图所示：此时：，旋转角度，∴；时，如图所示：此时：，旋转角度为：∴；综上所述：的值为：．7．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数．问题迁移：(1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由．(2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)，理由见解析(2)或【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用；（1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】（1），理由如下：如图3，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）当P在延长线时，；理由：如图4，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；当P在之间时，．理由：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．综上所述，，，之间的数量关系为或．8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)【分析】本题考查了平行线的性质和应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质即可得出结论；（2）由（1）的结论结合条件中角度之间的倍数、平角等关系即可得出答案；（3）分别过点E、F、G作平行，根据平行线的性质即可得到结论【详解】（1）解：理由：由，，则．又（2）由（1）得，同理可得，，，，．（3）如图，分别过点作平行，即：9．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，直线，连接线段，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定∶线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接、，构成、、三个角．(1)当动点P落在第①部分时，如图1，求证：；(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？在图2中画出图形，若成立，写出推理过程，若不成立，直接写出这三个角之间的关系．(3)当动点P落在第③部分时，延长，点P在射线的左侧和右侧时，分别探究、、之间的关系，在图3中画出图形，并直接写出相应的结论．【答案】(1)见解析(2)不成立，，作图与推理过程见解析(3)点P在射线的左侧时，；点P在射线的右侧时，【分析】本题考查平行线的判定及性质．（1）过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此；（2）过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此，而，则不成立；（3）①当点P在射线的左侧时，过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此；②当点P在射线的右侧时，过点P作，则，由平行线的性质得到，，因此．【详解】（1）过点P作，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）不成立，、、之间的关系是，如图，过点P作，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴不成立；（3）①如图，当点P在射线的左侧时，过点P作，∴，∵，，∴，∴，∴；②如图，当点P在射线的右侧时，过点P作，∴，∵，，∴，∴，∴．10．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．【答案】(1)(2)，理由加解析(3)或30或秒【分析】（1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）设，，过点作，得出，根据平行线的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解；（3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出①，根据得出②，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：平分，且，，过点作，，，又，，，，；（2）解：数量关系为：或．理由如下：分别平分和，设，，过点作，，，，，，，过点作，，，，，即，；（3）解：∵，平分，则，∵未旋转前，则，，∵将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，∴，当在的上方时，如图所示，设，则，依题意，始终平分，平分，∴，，∵，∴，∴①又∵，即，即②，将②代入①得，，解得：；当在的下方时，如图所示，则，解得：，将代入①得，，∴；如图所示，当时，且在的下方时，设，则，依题意，始终平分，平分，∴，，∵，∴，∴，又∵，即，即，将代入，解得：，当在的上方时，则，即，将代入，解得：（舍去）综上所述：或或．11．（22-23七年级上·河南南阳·期末）如图，已知．点P是射线上一动点（与点A不重合），，的角平分线分别交射线于点C，D．(1)①的度数是______；②∵，∴______；(2)求的度数；(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系；若变化，请写出变化规律．(4)当点P运动到使时，的度数是______．【答案】(1)①；②(2)(3)，理由见解析(4)【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等：（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明，即可求出结果；（3）不变，，证，即可推出结论；（4）可先证明，由（2），可推出，可得，即可求出的度数．【详解】（1）解：①∵，∴，∵，∴；②∵，∴，故答案为：；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴；（4）解：∵，∴，当时，则有，∴，∴，由（2），∴，∴，故答案为：．12．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．【答案】(1)65°(2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时，【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；（2）分三种情况讨论：当在的上方时，当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，过作，依据，可得，再利用平行线的性质可得结论．【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，∴，，．又，∵，，∴；（2）解：．理由如下：当在的上方时，如图，过作，∵，∴，，，，．当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，如图，过作，∵，∴，，，，．题型五平行线的性质在生活中的应用【例1】（21-22六年级下·山东东营·期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．(3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；(2)96，90(3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．【详解】（1）证明：∵（已知），∴（①两直线平行，内错角相等），∵，（已知），∴（②等量代换），∴，即：，∴（③内错角相等，两直线平行）故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；（2）解：由题意得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：96，90．（3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：解：由（1）得，，，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案为：．【例2】（22-23七年级下·吉林松原·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）(1)，；(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．(3)若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？【答案】(1)6，1(2)s(3)射线再转动秒或18秒时，射线、射线互相平行【分析】（1）依据，即可得到，的值；（2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间．【详解】（1），，，，，故答案为：6，1；（2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直．如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，，，，，又，，，；（3）设射线再转动秒时，射线、射线互相平行．如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，转动至的位置，，分两种情况：①当时，，，，，，当时，，此时，，解得；②当时，，，，，，当时，，此时，，解得；综上所述，射线再转动秒或18秒时，射线、射线互相平行．【例3】（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案；（2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如图3，过点作，过点作，

则，，，，，，，．巩固训练1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等可求出的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，由题意得，∴，∵，∴，∴，故选：C．2．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是（

）A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向是解题的关键．【详解】解：A.两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意；B.两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意；C.两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意；D.两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意；故选：C．3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由，根据两直线平行，内错角相等，可得的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．【详解】∵∴（两直线平行，内错角相等）．故选：D．4．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线m与出射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据和的度数，求出的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【详解】解：，，，，入射光线m与出射光线平行，．故选：A．5．（22-23七年级下·贵州黔南·期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是度．

【答案】【分析】利用平行线的性质，求解即可．【详解】解：∵∴又∵∴∴故答案为：6．（22-23七年级下·河北承德·期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动秒时，两灯的光线互相平行．

【答案】6045或105【分析】根据题意及邻补角互补求出，，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分①当射线未过线段时，②射线过线段且未到达射线时，③射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴；∴，∵，∴，∵灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动，∴此时，设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，①当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：；②射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：，（不符合题意，舍去）；③射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：；∴综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行；故答案为：60；45或105．7．（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为秒．【答案】6或43.5【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求．【详解】解：当，则，如下图：∵，∴．∴．设光线旋转时间为t秒，∴∴．当，则，如下图：∵，∴．∴．设光线旋转时间为t秒，此时光线由处返回，∴．∴．∴．∴．综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．故答案为：6或43.5．8．（22-23七年级上·福建泉州·期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为．【答案】/17度【分析】由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可．【详解】解：∵，∴．∵,∴．故答案为：．9．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．

【答案】【分析】根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解．【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上，则，在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上，则，∴，又，∴，，．

题型六垂线【例1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（

）A．B． C．D．【答案】C【分析】本题考查了点到直线的距离，理解“点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离”是解题的关键．过点作直线的垂线，垂足为，线段的长就是点A到直线距离，据此求解即可．【详解】解：线段的长表示点A到直线距离的是：故选：C．【例2】（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本题考查垂线，角平分线，对顶角、邻补角，掌握垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确判断的关键．根据垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系逐项进行判断即可．【详解】①平分，，，，而，，即，因此①正确；②，，，，，因此②正确；③平分，，只有当时,，而与是否垂直不确定，因此③不正确；④∵平分平分，，，，即，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选:B．【例3】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（

）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】C【分析】本题考查平行公理，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，掌握相关性质即可解题．【详解】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知，，，故选：C【例4】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）如图，要在渠岸上找一点，在点处开沟，把水渠中的水引到点，要使沟最短，线段与渠岸的位置关系应是，理由是．【答案】垂直垂线段最短【分析】由垂线段的性质可知，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，利用这个思路来解题；接下来根据要使沟最短，结合上述知识，即可得出结论，本题考查了，垂线段最短的应用，解题的关键是：将实际问题转化为数学问题．【详解】解：∵点在直线上，∴当时，最短，故答案为：垂直；垂线段最短．【例5】（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是，原因是．【答案】点到直线的距离，垂线段最短【分析】本题考查了点到直线的距离，三角形的面积计算；根据点到直线的距离，垂线段最短可知：当时，线段取最小值，然后利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：根据点到直线的距离，垂线段最短可知：当时，线段取最小值，此时，所以，原因是点到直线的距离，垂线段最短，故答案为：；点到直线的距离，垂线段最短．【例6】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）解答下列问题：(1)画线段、，并延长、相交于点E；(2)画直线，射线；(3)过D点作；(4)过D点作．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】本题主要考查了画线段、射线、直线，作垂线和平行线，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义．（1）根据线段的定义画线段即可；（2）根据射线和直线的定义画图即可；（3）画垂线即可；（4）画平行线即可．【详解】（1）解：线段、即为所求作的线段，点E即为所求作的点，如图所示：（2）解：如图，直线，射线即为所求．（3）解：即为所求，如图所示：（4）解：即为所求，如图所示：巩固训练1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）为直线外一点，，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（）A．，或 B．C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线，垂线段最短，即可得出结果．【详解】解：∵点到直线，垂线段最短，，，，∴点到直线的距离为不大于；故选D．2．（23-24七年级下·河南·阶段练习）为直线外一点，为直线上三点，，，，则点到直线的距离不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度．根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【详解】解：由题意，得点P到直线m的距离不大于，故选：A．3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A，B，C的距离分别为，，，则点P到直线m的距离可能为（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm【答案】A【分析】本题主要考查点到直线的距离．根据直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短即可求解．【详解】解：因为点P为直线m外一点，点A、B、C是直线m上三点，，，，直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段距离最短可得：点P到直线m的距离小于或等于3cm．故选：A．4．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点，在直线上，，，，点A到直线的距离是（）A．线段的长度 B．线段的长度C．线段的长度 D．线段的长度【答案】A【分析】本题考查点到直线的距离．从直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫点到直线的距离．根据于D，可得到点A到直线的距离是线段的长度．【详解】解：∵，∴，∴点A到直线的距离是的长度，故选：A．5．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：，，，，故选：A6．（23-24七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是．【答案】【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．当时，的值最小，利用面积法求解即可．【详解】解：在中，，，，，当时，的值最小，此时：的面积，，，故答案为：．7．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是