第一章空间向量与立体几何夯实基础-02空间向量的数量积运算（原卷版）

第一章空间向量与立体几何02空间向量的数量积运算问题导学：1.类比平面向量数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？2.空间向量数量积有哪些注意点？向量夹角的取值范围有要求吗？3.怎样定义向量垂直？4.类似的，在空间，向量a在向量b的投影有什么意义？向量a在直线的投影呢？向量a在平面的投影呢？知识构建知识点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：，特别地，当时，a⊥b.知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即。规定：零向量与任何向量的数量积都为。性质设，是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤。运算律①，；②（交换律）；③（分配律）。求空间向量数量积的步骤①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③代入求解。知识点三空间向量的投影（1）向量向向量投影（2）向量向直线投影（3）向量在直线上投影类型剖析类型一、空间向量数量积的计算类型二、利用空间向量数量积求模长类型三：利用空间向量数量积求夹角类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题四、类型应用题型一空间向量数量积的计算【例1】如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：

(1)；(2)；(3)；(4)．【跟踪训练11】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______．【跟踪训练12】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（）A．1B．C．D．2【跟踪训练13】（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．类型二、利用空间向量数量积求模长【例2】如图，在平行六面体中，，．求：(1)；(2)的长．【跟踪训练21】如图，在平行六面体中，，，，，，求：(1)；(2)的长.类型三利用空间向量数量积求夹角【例3】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．(1)求的长；(2)求和夹角的余弦值．【跟踪训练31】（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．【跟踪训练32】（2324高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．(1)求的长．(2)求异面直线与所成的角的余弦值．类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题【例4】（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，(1)求线段的长；(2)求证：．【跟踪训练4】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.五、素养提升【例5】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，．(1)求线段的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)若为的中点，证明：．六、随堂检测：1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（

）

A．1 B．－1 C． D．2．已知空间单位向量，，两两垂直，则（

）A． B． C．3 D．63.（2324高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中，，，则向量与的夹角是（）

A．30° B．45°4.（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5（2324高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则=6.如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.7.（2324高二上·河南开封·期