2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第一章 二元一次方程组（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第一章二元一次方程组（知识归纳+题型突破）1、能根据现实情景理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．2、掌握消元法，能解二元一次方程组．一．知识结构图二、知识概念1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。题型一二元一次方程（组）的定义【例1】（2023下·七年级课时练习）（1）若是关于x，y的二元一次方程，则a的值是；（2）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值是．【例2】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）若是二元一次方程，则．巩固训练：1．（2023上·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）下列各式中属于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023上·陕西汉中·八年级校联考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．3．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）下列方程组是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．4．（2023上·山西运城·八年级校联考阶段练习）在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（）．A．①③ B．①④ C．①② D．只有①5．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（）A． B． C． D．16．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）若是关于的二元一次方程，则的值为（

）A． B． C．0 D．1题型二二元一次方程组的解法【例1】（2023下·七年级课时练习）用加减法解方程组时，若要求消去y，则应（

）A．①×3－②×2 B．②×3－①×2C．①×3＋②×2 D．①×2＋②×3【例2】（2023下·七年级课时练习）用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简）【例3】（2024上·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如果关于的方程组的解是方程的解，那么的值是（

）A． B． C．5 D．20巩固训练1．（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）解方程组(1)；(2)．2．（2023上·四川达州·八年级校考期末）解方程组：(1)；(2)．3．（2023上·全国·八年级专题练习）用加减法解下列方程组(1)(2)4．（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．5．（2023下·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组其中m为常数．(1)求x（用含m的式子表示）；(2)若|y|=x，求m的值．6．（2023上·甘肃酒泉·八年级统考期末）若与是同类项，求的值．7．（2023上·安徽安庆·七年级统考期末）若关于的方程组的解满足，则的值是．题型三二元一次方程组的特殊解法【例1】（2023下·河南周口·七年级统考期末）若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（

）A． B． C． D．【例2】（2021下·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（

）A． B． C． D．【例3】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（

）A． B． C． D．【例4】（2022下·浙江绍兴·七年级校联考期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（）A． B． C． D．【例5】（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：(1)；(2)．巩固训练1．（2023下·山东济宁·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是A． B． C． D．2．（2022下·福建厦门·七年级福建省厦门第六中学校考期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．3．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解为．4．（2023上·安徽安庆·七年级安徽省安庆市外国语学校校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为．5．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．6．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，得，将，代入①得，方程组的解为，请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程；(2)已知，满足方程组，求的值．7．（2024下·全国·七年级假期作业）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下：解：设，，则原方程组可化为解方程组，得即解得(1)请你把小华的做法填写完整；(2)请你根据小华的做法，解方程组：8．（2019上·八年级单元测试）先阅读，再解方程组．解方程组时，设，则原方程组变为，整理，得，解这个方程组，得，即，解得．请用这种方法解下面的方程组：．题型四二元一次方程组的实际应用【例1】（错解复原问题）（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（）A． B．C． D．【例2】（求参数问题）（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）（1）关于，的二元一次方程组满足，求的值；（2）关于，的二元一次方程组的解为整数，求正整数的值．【例3】（同解方程问题）（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值．【例4】（几何问题）（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.

(1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【例5】（2024上·广东深圳·八年级统考期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．(1)求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．(2)学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．巩固训练1．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（

）A．2 B． C．0 D．2．（2022下·福建泉州·七年级校考期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值．以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值；小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值；小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值．(1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题；(2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变．3．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m，n的值；(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．4．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.

(1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.5．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？6．（2024下·全国·七年级假期作业）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车．已知最近两次租用这两种货车运货的情况如下表：甲货车辆数乙货车辆数累计运货吨数第一次3454第二次2339(1)1辆甲货车和1辆乙货车一次分别运货多少吨？(2)若货主现有45t货物，计划同时租用甲货车a辆，乙货车b辆（a，b均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮助货主设计租车方案．7．（2023上·山东滨州·七年级校考期末）列方程解应用题：(1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件可获利5元．①求该工厂有多少工人生产A零件？②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？9．（2022下·云南·七年级云大附中校考期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？10．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知用2辆A型车和1辆型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆型车装满药物一次可运13吨．(1)求1辆A型车和1辆型车都装满药物一次可分别运多少吨？(2)该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车辆，型车辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案，求出所有租车方案．（甲、乙两辆车均有在使用）11．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？题型五三元一次方程