003第三章连续信号与系统的频域分析

§3.1信号的正交分解与傅里叶级数一、三角傅里叶级数二、指数傅里叶级数三、函数的奇偶性与谐波含量一、三角傅里叶级数当所取函数为无穷多个时，函数集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一个完备正交函数集。周期为T的函数f(t)可以展开成三角级数两点说明：1、f(t)必须满足狄里赫莱(Dirichlet)条件①、在一个周期内绝对可积；②、在一个周期内极值数目有限；③、f(t)

在一个周期内或连续或有有限个第一类间断点（当t从较大和较小时间趋近与间断点时函数f(t)趋于不同的有限极值），在电子技术中信号一般都满足狄里赫莱条件。周期为T的函数f(t)可以展开成三角级数直流分量基波分量n次谐波分量(nΩ为频率)§3.1信号的正交分解与傅里叶级数例：将图示信号f(t)用傅里叶级数表示。周期延拓当0<t<T时f(t)=f1(t)解：当0<t<T时f(t)=f1(t)说明：非周期信号通过周期延拓也可展开成傅里叶级数，但在结果中应标明t的取值范围。

当n→∞时正交函数集完备，谐波分量无限多，均方误差为0；§3.1信号的正交分解与傅里叶级数一、三角傅里叶级数当所取函数为无穷多个时，函数集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,sinΩt,sin2Ωt,…}是一个完备正交函数集。二、指数傅里叶级数周期为T的任意函数f(t)可以展开成指数傅里叶级数。称为：n次谐波分量的复数振幅指数傅里叶级数与三角傅里叶级数的关系二、指数傅里叶级数n次谐波分量的复数振幅小结：1、三角级数、指数级数两者形式不同实质却相同。实用中指数级数更方便，因为只要求一个分量系数。2、指数级数中有nΩ和-nΩ项，并不意味着有负频率，而是ejnΩt和e–jnΩt两者一起构成一个n次谐波分量。3、分量系数的模An是关于n的偶函数，相位Φn是关于n的奇函数。4、不管是三角级数还是指数级数，在求分量系数时积分下限t1可任取，只要积分区间为T即可。为计算方便通常取5、周期函数可展成傅里叶级数；非周期函数通过周期延拓也可展开，但要注明适用的时间范围。三、函数的奇偶性与谐波含量偶函数、奇函数奇谐函数、偶谐函数三、函数的奇偶性与谐波含量1、偶函数函数的波形关于纵轴对称f(t)=f(-t)结论：偶函数的三角傅里叶级数中不含正弦项，只含余弦项（可能含直流分量）。求an时只要在的区间内积分。2、奇函数函数的波形关于原点对称f(t)=-f(-t)结论：奇函数的三角傅里叶级数中只含正弦项，不含余弦项和直流分量。求bn时也只要在的区间内积分。非奇非偶的函数？总可分解为一个奇分量（oddcomponent）和一个偶分量（evencomponent）的叠加。例：t

偶分量奇分量常数，无需再分解只含有奇次谐波分量3、奇谐函数相邻两个半周期对横轴成镜象关系结论：

奇谐函数只含有奇次谐波，但可有正弦也可有余弦。

注意不要与奇函数混淆。奇函数时只含正弦，可有奇次、偶次谐波；相邻两个半周期完全重叠

4、偶谐函数只含有偶次谐波即是偶函数，又是偶谐函数三、函数的奇偶性与谐波含量偶函数的三角傅里叶级数中不含正弦项，只含余弦项（可能含直流分量）。奇函数的三角傅里叶级数中只含正弦项，不含余弦项和直流分量。奇谐函数只含有奇次谐波，可有正弦也可有余弦偶谐函数只含有偶次谐波，可有正弦也可有余弦§3.2周期信号的频谱

信号的频谱图可以更直观地了解信号的频谱结构振幅相位频率研究频谱：研究An及φn关于频率的关系既是一个奇函数又是一个奇谐函数n为奇数§3.2周期信号的频谱

例：周期性方波的频谱An=？φn=？幅值相位以角频率ω(或频率f)为横坐标，An为纵坐标作出的图形称为振幅谱。若以φn为纵坐标作出的图形称为相位谱。一般相位谱比较简单可以不必另外作图，可以将它标在振幅谱图旁。§3.2周期信号的频谱

例：周期性方波的频谱3、收敛性，谐波的振幅随谐波的次数增高而减小，谐波次数无限增高则其振幅无限趋小。1、离散性，频谱由一些离散的线条构成，是离散谱。周期信号频谱的特点：2、谐波性，每条谱线表示信号的一个分量，其频率都是基波频率的整数倍。例：周期性方波的频谱例：周期性矩形脉冲的频谱。复数振幅§3.2周期信号的频谱

解：对于周期性矩形脉冲离散性、谐波性、收敛性▲频谱的包络为抽样函数的绝对值相邻谱线间的间隔为▲频谱结构与比值τ/T有关性质：基本信号－抽样信号定义：抽样信号Sa(t)t01-2

2

-

3

-3

-0.217-

0.2170.1280.128对于周期性矩形脉冲▲频谱结构与比值τ/T有关▲频谱的包络为抽样函数取绝对值对于周期性矩形脉冲※相位比较简单,可根据抽样函数的符号变化标在振幅谱旁边下面是以T=5τ，T=10τ，T=20τ为例作出的频谱图§3.2周期信号的频谱

▲频谱结构与比值τ/T有关▲频谱的包络为抽样函数取绝对值▲频谱结构与比值τ/T有关▲频谱的包络为抽样函数取绝对值§3.2周期信号的频谱

.频谱图也可以不标相位，而是直接根据复数振幅进行作图，称复数振谱。也可以根据指数傅里叶级数的系数，即复数振幅的一半进行作图，称为双边谱§3.2周期信号的频谱

§3.2周期信号的频谱频谱图也可以不标相位，而是直接根据复数振幅进行作图，称复数振谱。也可以根据指数傅里叶级数的系数，即复数振幅的一半进行作图，称为双边谱只有在复数振幅为实数时才能这样画。不为实数，为复数，振幅频谱和相位频谱不能合在一张图中，必须分画两张图1、离散谱，谱线间隔（与其他信号周期信号一样也具有离散性、谐波性）2、，

周期矩形脉冲信号频谱的包络为抽样函数对周期矩形脉冲信号频谱的认识§3.2周期信号的频谱

共5点，

△零点出现在：

△

,虽然An不是单调收敛但总的趋势是收敛的，符合周期信号频谱的第三个特点：收敛性。3、相位谱不必另作，可参照抽样函数的符号变化标在幅度谱上，也可以作复数谱或双边谱。§3.2周期信号的频谱

4、信号的频带宽度在工程应用中可忽略一部分幅度较小的分量，而把能量主要集中的频率范围称信号的频带宽度（也称有效带宽，带宽等）。§3.2周期信号的频谱

周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性谐波次数n

因此信号的能量主要集中在频率较低的分量中。谐波的幅度An

在信号处理中：带宽一般取到基波幅度的十分之一。例如：称半功率点(3dB带宽)——通频带以信号功率衰减到一半为准。频带宽度有多种定义方法§3.2周期信号的频谱

或带宽：

特别地，对于周期矩形脉冲信号一般将它的第一个零点定义为它的带宽。A只影响各次谐波分量幅度的大小，不影响频谱的结构和形状。5、脉冲参数与频谱结构的关系所以讨论T和τ

的影响在周期矩形脉冲信号中有3个脉冲参数A,τ,T5、脉冲参数与频谱结构的关系①.T改变，τ

不变T

:

周期脉冲非周期脉冲离散谱

连续谱各次谐波分量幅度

无穷小△各次谐波分量的幅度An△包络的零点位置

△

T

谱线间隔（信号的频带宽度不变）

谱线密集

不变τ

包络零点(信号的频带宽度)②.τ

改变，T不变5、脉冲参数与频谱结构的关系谱线间隔不变

收敛速度

§3.3傅里叶变换与非周期信号的频谱

三、傅里叶变换的奇偶性一、傅里叶变换二、傅里叶变换的物理意义四、求矩形单脉冲信号的频谱，并讨论非周期信号可看作是周期为∞的周期信号①.T改变，τ

不变T

:

周期脉冲非周期脉冲离散谱

连续谱各次谐波分量幅度

无穷小△各次谐波分量的幅度An

△

T

谱线间隔

谱线密集

△包络的零点位置（信号的频带宽度不变）不变对于周期性矩形脉冲一、傅里叶变换T

时：定义非周期信号的频谱为：称为频谱密度函数简称频谱函数——称为f(t)的傅里叶变换

T

时：周期信号指数傅里叶级数展开式得到一对傅里叶正变换和反变换公式：常用记号f(t)↔F(jω)表示它们是一个傅里叶变换对§3.3傅里叶变换与非周期信号的频谱

正变换核反变换核周期信号：每个分量的幅度为无穷小量非周期信号：将一个非正弦的周期信号分解为一系列正弦分量将f(t)分解为无限多个连续指数函数ejωt分量ω从-

连续变化二、傅里叶变换的物理意义对f(t)进行傅里叶变换一般要求f(t)满足绝对可积这个条件是充分条件并不必要，有些函数虽然非绝对可积，但也可有傅里叶变换存在。在频域中对系统进行分析时就是求系统对每一个频率分量的响应，然后将它们叠加起来。二、傅里叶变换的物理意义三、傅里叶变换的奇偶性实函数的频谱一般是复函数§3.3傅里叶变换与非周期信号的频谱

实信号f(t)的偶分量的频谱函数是f(t)频谱函数的实部，

奇分量的频谱函数是f(t)频谱函数虚部乘以j。f(t)为实偶函数，f(-t)=f(t)f(t)为实奇函数，f(-t)=-f(t)时域中的实奇函数，它的频谱函数是频域中的虚奇函数b(ω)=0F(jω)=a(ω)

时域中的实偶函数，它的频谱函数是频域中的实偶函数

a(ω)=0F(jω)=jb(ω)例2:求幅度为A、宽度为τ的门函数的频谱函数频域中的实偶函数§3.4典型信号的傅里叶变换1、单边指数函数2、单位阶跃函数ε(t)3、符号函数sgn(t)4、双边指数函数

5、单位直流信号6、单位冲激函数δ(t)7、指数函数

8、周期性冲激序列δT(t)9、门函数1、单边指数函数满足绝对可积条件典型信号的傅里叶变换—11、单边指数函数典型信号的傅里叶变换—1α

0α

02、单位阶跃函数ε(t)显然不符合绝对可积条件典型信号的傅里叶变换—2可见a(ω)为频域中的冲激函数，须求出它的冲激强度，即a(ω)下的面积。典型信号的傅里叶变换—22、单位阶跃函数ε(t)典型信号的傅里叶变换—2注意两点：1.实部、虚部2.0点和非0点2、单位阶跃函数ε(t)3、符号函数sgn(t)典型信号的傅里叶变换—3f(t)是一个实奇函数，F(jω)是一个虚奇函数4、偶双边指数函数

f(t)是一个实偶函数，F(jω)也是一个实偶函数典型信号的傅里叶变换—4的傅里叶变换解法2：典型信号的傅里叶变换—4不满足绝对可积条件典型信号的傅里叶变换—55、单位直流信号f(t)01可看作双边指数信号在

0的极限值为频域中的冲激函数，须求出它的冲激强度(即面积)|F(j

)| 0

(2

) f(t)

0 t 1 典型信号的傅里叶变换—55、单位直流信号解法2：模仿符号函数sgn(t)典型信号的傅里叶变换—55、单位直流信号6、单位冲激函数δ(t)典型信号的傅里叶变换—67、指数函数

不符合绝对可积条件典型信号的傅里叶变换—7典型信号的傅里叶变换—77、指数函数

综合上述，凡符合绝对可积条件的函数可通过定义直接求出频谱函数；若不符合绝对可积条件则不能直接计算，但可通过其它变换对推出，并且一般含有冲激函数。δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：8、周期性冲激序列δT(t)间隔为T的均匀冲激序列，以符号δT(t)表示典型信号的傅里叶变换—8周期、强度均为Ω典型信号的傅里叶变换—8时域上间隔为T的均匀冲激序列，其频谱函数也是一个均匀冲激序列，且周期和强度均为Ω。推广：周期信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换—89.门信号求幅度为A、宽度为τ的门函数的频谱函数典型信号的傅里叶变换—9典型信号的傅氏变换1、单边指数信号4、偶双边指数信号3、符号函数2、单位阶跃信号典型信号的傅氏变换5、单位直流信号6、单位冲激信号7、复指数信号8、余弦正弦典型信号的傅氏变换9、单位冲激序列信号10、门信号§3.5傅里叶变换的性质

共列举了线性、延迟、移频、尺度变换、对称性质、微分（时域、频域）、卷积定理（时域、频域）、积分性质（时域、频域）、帕色伐尔九个重要性质，再加上前面的奇偶性共十个。一、线性举例：§3.5傅里叶变换的性质

二、延迟特性信号在时域延迟t0，在频域中所有频率分量都产生ωt0的相移，而振幅谱没有变化。例：求f(t)的频谱函数。二、延迟特性§3.5傅里叶变换的性质

与门函数相比，幅度谱完全相同，相位谱则产生了一个的线性相移。三、移频特性§3.5傅里叶变换的性质

例：已知求的频谱。解：

以门函数为例，可以画出它的示意图。三、移频特性通信中的调制例：求的频谱函数。解：三、移频特性四、尺度变换特性（时域频域成反比）§3.5傅里叶变换的性质

四、尺度变换特性（时域频域成反比）扩展扩展压缩压缩例：已知f(t)的频谱函数求f1(t)的频谱函数F1(jω)四、尺度变换特性（时域频域成反比）压缩例：已知f(t)的频谱函数求f1(t)的频谱函数F1(jω)延迟1.5τ§3.5傅里叶变换的性质

解：

§3.5傅里叶变换的性质

四、尺度变换特性（时域频域成反比）五、对称特性五、对称特性例：求频谱函数。

解：

五、对称特性六、微分性质2、频域微分性质1、时域微分性质证明：1、时域微分性质证明：

2、频域微分性质六、微分性质练习：七、卷积定理2、频域卷积1、时域卷积

1、时域卷积

2、频域卷积例：已知求的频谱。解法2：

1、时域积分性质八、积分性质2、频域积分性质1、时域积分性质八、积分性质2、频域积分性质八、积分性质例：求f(t)的频谱函数。

解：

利用傅里叶变换的积分性质

利用傅里叶变换的积分性质！！！例：求如图所示梯形脉冲的傅里叶变换解：提供了一条近似求解任意脉冲波频谱的方法例：积分方法一：先判断原函数中是否含有直流分量，利用傅里叶变换的线性性质方法二：考虑积分常数的影响，修正傅里叶变换的

积分性质公式证明：g(t)f(t)微分积分证明：g(t)f(t)微分积分证明：方法一：先判断原函数中是否含有直流分量，利用傅里叶变换的线性性质方法二：考虑积分常数的影响，修正傅里叶变换的

积分性质公式例3：如图所示信号f(t),其傅里叶变换为其实部的表达式为

？tf(t)210-11解题思路：时移性！例：如图所示信号f(t),其傅里叶变换为其实部的表达式为

？tf(t)210-11解题思路：奇偶性！非周期单脉冲信号（能量信号）九、帕色伐尔（Parseval）定理非周期单脉冲信号的能量在时域的表达式非周期单脉冲信号的能量在频域的表达式雷利定理：非周期信号在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等是帕色伐尔定理在非周期信号时的表现形式为研究信号能量在频域中的分布情况，定义一个能量谱密度函数，简称能量频谱，用G(ω)表示G(ω)意义：某个角频率ω处的单位频带中的能量能量谱的形状与幅度谱的平方相同，而与相位无关显然如果信号在时间上的移位，不影响能量谱的形状e(t)rzs(t)E(jω)Rzs(jω

)时域：

频域：

h(t)H(jω)系统转移函数§3.6频域系统函数

系统转移函数H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：§3.6频域系统函数

两边求傅里叶变换§3.6频域系统函数§3.6频域系统函数系统转移函数H(jω)的求法方法一：方法二：方法三：方法四：H(jω)还可由电路来求感抗:jωL容抗:1/

jωC例1：单位阶跃电压作用于图示RC电路，求uc(t)解：1、求E(jω)2、求H(jω)

分压3、求响应Uc(jω)4、求反变换1、求H(jω)时使用阻抗的概念，直接用分压公式求出。当然也可列出电路的微分方程或算子方程而得到H(p)，然后将p换成jω。例1讨论：2、求傅里叶反变换依靠：1.常用傅里叶变换对2.傅里叶变换的性质频域分析法步骤：1、求激励信号的频谱函数:e(t)→E(jω)2、求系统转移函数3、求响应函数R(jω):

R(jω)=E(jω).H(jω)4、求傅里叶反变换：r(t)=F-1[R(jω)]2、求系统转移函数H(jω)§3.7连续系统的频域分析法例：一线性系统频响曲线如图所示，设，求系统的零状态响应。H(jω)是ω的函数，故又称为频率响应函数，简称频响例：一线性系统频响曲线如图所示，设，求系统的零状态响应。解：1、求

2、由曲线写出§3.7连续系统的频域分析法3、求低通滤波器4、求§3.7连续系统的频域分析法(1)求系统冲激响应h(t)(2)系统激励为，初始状态为

求系统全响应.例：已知线性时不变系统微分方程解:(1)(1)求系统冲激响应h(t)(2)系统激励为，初始状态为

求系统全响应.例：已知线性时不变系统微分方程解:(1)解:(2)解:(2)§3.8傅里叶变换的应用◆理想低通滤波器传输特性◆调制与解调◆系统无失真传输及其条件§3.8.1理想低通滤波器传输特性一、滤波器的概念

滤波器是一种网络，在某一频率范围内信号传输时衰减很小，信号能顺利通过——该范围称滤波器的通带。在通带之外信号传输时衰减很大，阻止信号通过——这个范围称滤波器的阻带。按照滤波器的特性不同，可分为低通、高通、带通、带阻等。fc为截止频率滤波器分类高通、带通、带阻滤波器均可由低通滤波器经过频率变换来导得二、理想低通滤波器及其冲激响应理想低通滤波器的特点是在通带0~ωc0内所有频率分量均匀一致地通过，所有频率分量有相同的延迟t0。二、理想低通滤波器及其冲激响应时移二、理想低通滤波器及其冲激响应§3.8.2调制与解调

未经调制的正弦波可以表示为幅度频率初相位调幅、调频和调相都是由调制信号直接控制高频振荡的某一个参数达到的把待传输的信号托付到高频振荡的过程，就是调制的过程调幅的过程就是用调制信号来控制载频幅度的过程cosωcte(t)r(t)可以通过乘法器来实现§3.8.2调制与解调

H2(jω)y(t)H1(jω)f(t)cos5ω0tcos3ω0tfs1(t)f2(t)fs2(t)-3ω

0H1(jω)103