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文档简介

§3.5齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组解的结构说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指例1

判别下列集合是否为向量空间.解例2

判别下列集合是否为向量空间.解定义2

设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．实例设是由维向量所组成的向量空间，那末，向量组就称为向量的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．二、向量空间的基与维数定义3

设是向量空间，如果个向量，且满足

（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明

（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为

（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）三、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.１．基础解系的定义四、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为

定理1例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2

解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方

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