22人教版高中数学新教材选择性必修第二册-等比数列的概念

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念课标解读课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体的问题情境中发现关系，并解决相应的问题．1.数学运算———能计算等比数列的基本量；2.逻辑推理———能通过定义证明等比数列；3.数学建模———能用等比数列解决实际问题.第1课时等比数列的概念自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一等比数列的概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第①2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做②等比数列.这个常数叫做等比数列的③公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）.2.等比中项的定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2=④ab要点二等比数列的通项公式1.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=要点三等比数列的图像和性质1.类似于等差数列与一次函数的关系，由an=a1q⋅qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an自主思考1.1,1,2,4是等比数列吗？常数列是不是等比数列？答案：提示1,1,2,4中从第2项起每一项与它的前一项的比不是同一个常数，故不是等比数列；只有非零常数列才是等比数列，公比为1.2.任何两个实数a与b是否都存在等比中项？答案：提示设等比中项为G，则由a,G,b成等比数列，得Ga3.若公比q>1，如何确定等比数列的单调性？答案：提示当a1>0,q>1时，等比数列{an}4.等比数列的通项公式an答案：提示等比数列的通项公式为an=a1qn−1，当q>0且q≠1时，名师点睛1.注意正确理解等比数列的定义（1）理解等比数列的定义必须注意两个“要素”,即首项和公比,1,3,9与3,9,27是不同的等比数列,故仅仅知道anan−1=q（（2）注意等比数列的定义“从第2项起”,因为等比数列求比具有顺序性,都是用后一项比前一项,这里包含了等比数列的首项,所以等比数列至少含有三项;若数列仅仅“从第3项起”（或第4项,依次类推）,才满足an2.等比数列的递推公式：设等比数列的公比为q,第n项为an,后一项为an+1,由等比数列的定义,容易得到等比数列的递推公式：an+1an=q．所以要证明一个数列是等比数列,只要证明对于任意的正整数3.在等比数列{an}4.等比数列通项公式的推广等比数列的通项公式为an5.等比数列的单调性（1）等差数列的单调性只由公差决定,与等差数列不同,判断等比数列的单调性,既要确定首项的符号,又要关注公比的取值范围.（2）各项都为正数或都为负数的非常数等比数列才能确定其单调性,公比小于0的等比数列不具有单调性.6.等比数列的项的性质（1）在等比数列{a（2）在等比数列{an}（3）若数列{an}（4）两个等比数列{an}与{（5）在等比数列{an}中,若m,n,p,q∈N∗特殊地,若m+n=2ω,则aman=a（6）与有穷等比数列{an}互动探究·关键能力探究点一等比数列的概念自测自评1.（2021广东普宁高二上联考）在等差数列{an}中,若a3+A.-6B.6C.±6D.36答案：C解析：设等差数列{an}的公差为d(a2+a9+a14)−(a3+a2.（2021山东泰安高二期末）在公差不为0的等差数列{an}中,aA.84B.86C.88D.98答案：B解析：设公差不为0的等差数列{an}的公差为d,由a1,a23.（多选）下列关于等比数列的叙述正确的是()A.等比数列至少含有三项B.常数列一定为等比数列C.等比数列的首项和公比都不能为零D.若数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则数列为等比数列答案：A;C4.(★)已知2和3 k的等比中项是k,则实数k的值为,4 k与9 k答案：6;±36解析：由2和3 k的等比中项是k,得6 k=k2,则实数k=6或k=0（舍去）,所以4 解题感悟关于等比数列概念的注意事项（1）确定等比数列的两个基本量,即明确等比数列的首项和公比是解题的关键.（2）注意应用等比中项的定义得出的两个等比中项是否均符合题意.探究点二等比数列的通项公式与应用精讲精练类型1求通项公式例1（2021江苏苏州高二期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn,答案：∵a1a3=a22,∴当a1=4,a变式1–1若本例条件变为：已知等比数列{an}的前n项和为Sn,答案：∵a2a3a4=即6q当q=12,当q=−13,类型2由通项公式求基本量例2已知等比数列{an}中,an=3⋅2n−1,则公比q=答案：2;6解析：由题意得公比q=an+1an=3⋅2n3⋅变式2–1若本例条件不变,解不等式an答案：解法一：由an=3⋅2n−1,an≤1024得3⋅2解法二：由an=3⋅2n−1,所以不等式an≤1024的解集为解题感悟1.若已知等比数列中的任意不同的两项,都可利用方程的思想求出a1和q2.掌握计算等比数列公比的重要公式qn−m当n−m为大于1的奇数时，q=n−manam迁移应用1.（2021浙江金华曙光中学高二上期中）已知等比数列{an}A.19C.13答案：D2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1答案：12;1解析：由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=13.在320与5之间添加5个数,使这7个数成等比数列,求所添加的5个数.答案：依题意,得a1所以添加的5个数为160、80、40、20、10或-160、80、-40、20、-10.探究点三等比数列的判断或证明精讲精练例（2021广东惠州高二质检）已知数列{an}（1）求证：数列{a（2）求数列{a答案：（1）证明：根据题意,得an+1=2a∴a∴数列{a（2）由（1）得an∴a变式若本例条件不变,判断数列{a答案：∵a∴a∴an+1＞解题感悟判断或证明数列为等比数列的常用方法（1）定义法：an+1an=q（q为常数且（2）通项公式法：an=a1qn−1（（3）等比中项法：若对于任意连续非零三项an−1,an,an+1，都有a迁移应用1.（2021贵州贵阳高二期中）设n∈N∗,则“数列{aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：若数列{an}是等比数列,设公比为q∴a∴数列{an2}是等比数列,若数列∴“数列{an}2.(★)已知a1=2,an＞0,点(（1）证明数列{lg（2）求数列{a答案：（1）证明：由点(an,an+1an+1∴lg即lg(1+又lg(1+∴{lg(1+a（2）由（1）知，lg(1+得lg(1+∴1+a∴a评价检测·素养提升课堂检测1.若数列{an}满足aA.1B.-1C.3D.-3答案：B2.如果−1,a,b,c,−9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=−3,ac=9C.b=3,ac=−9D.b=−3,ac=−9答案：B3.已知等比数列{an}满足对任意n∈A.1B.-2C.2或12D.2或−答案：D4.等比数列{an}中,a2=3,a4=27,则答案：±9;3n−1或−(−3解析：设等比数列{an}的首项为a1,解得q2=9,所以当q=3时,a1当q=−3时,a15.已知等比数列{an}的通项公式为an=3⋅(答案：∵a∴b∴bn+1bn=(12)3素养演练逻辑推理和数学运算——数列通项公式在“数阵”问题中的应用1.下表是一个“数阵”：1（）（）（）…a1j…（）1（）（）…a2j…（）（）（）1…a3j……ai1ai2ai3ai4…aij……其中每行都是公差不为0的等差数列,每列都是等比数列,aij表示位于第i行第j（1）写出a45（2）写出aij答案：（1）设第一、二、三行的公差分别为d,m,n,则可得到前三行前四列的表如下：11+d1+2d1+3d1−m11+m1+2m1−3n1−2n1−n1答案：由每列都是等比数列,得(1−m)2=1−3n①,(1+d)(1−2n)=1②,(1+2m所以m=12,n=14,d=1,代入表中可得,每列的公比为所以a41（2）由（1）得,ai1所以aij=a当i=1时,j=1=2当i=2时,j=2=2当i=3时,j=4=2当i=2020时,j=2所以第2020个1在“数阵”中所在的位置是第2020行第22019素养探究：以数列为素材的新情境、新定义问题是高考考查的热点,也是难点,认真审题,将问题转化为等差数列或等比数列的常规问题是解题的关键,考查逻辑推理和数学运算素养.解答本题的关键：（1）设出前三行数列的公差,利用等比数列的概念和性质建立方程求解;（2）通过观察、归纳、猜想,得到数列的项的规律,进而得到问题的答案．迁移应用1.已知实数数列{an}中,a1=1,a6=32,an+12=a答案：2127解析：由an+12=anan+2,得数列{a由题图可知,图中的第一行,第二行,第三行,…分别占了数列{a每一行占的项数构成了以1为首项,2为公差的等差数列,则图中前11行共占了数列{an}因为A(12,7)表示第12行的第7个数,所以A(12,7)表示的是数列{an}课时评价作业基础达标练1.下列式子不能表示等比数列的是()A.an=2B.C.a1=1,a答案：D2.在等比数列{an}中,若aA.32B.23C.−23D.答案：C3.给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设bA.是等差数列B.是公比为q的等比数列C.是公比为q3D.既非等差数列又非等比数列答案：C4.等比数列的首项为98,末项为13,公比为A.3B.4C.5D.6答案：B5.在等比数列{an}中,若aA.9B.10C.12D.-12答案：C6.（多选）已知等比数列{aA.a3=−4B.C.an=(−2)答案：A;B;D解析：由等比数列的公比为2,首项为-1,得数列的通项公式an7.（多选）下列关于等比数列{aA.若{an}B.若an+12=C.若an+12≠D.若{an}答案：A;C解析：若{an}是等比数列,则必有an+1an=an+2an+1,得8.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=16d,若ak答案：5解析：因为a1=16d,ak是a1即[a1+(k−1)d解得k=5或k=−3（舍去）.9.等比数列{an}：−13答案：(−3)解析：等比数列{an}中,a1=−10.（2021山东济宁高二期中）若在1和36之间添加一个实数G,使1,G,36成等比数列,则G=;若在1和36之间添加三个实数x,H,y,使1,x,H,y,36成等比数列,则H=.答案：±6;6解析：若在1和36之间添加一个实数G,使1,G,36成等比数列,则G2=36,解得若在1和36之间添加三个实数x,H,y,使1,x,H,y,36成等比数列,则1,H,36仍然成等比数列,得H2=36,解得当H=−6时,1,x,−6不是等比数列（因为x2所以H=6.易错警示注意等比中项的概念,中间的实数是两端同号实数的等比中项,否则容易增解.素养提升练11.（2021山东临沂高二期中）已知数列{an}的前n项和为Sn,且SnA.若{an}B.若{an}C.若{an}D.若{an}答案：D解析：an若{an}是等差数列,因为q≠0且q≠1,所以k=0;反之,若k=0,则S若{an}是等比数列,所以a反之,若t=0,则an=k(q−1)qn−1,12.（多选）（2020山东枣庄八中高二期中）若数列{an}对任意n≥2(n∈N)A.{aB.{aC.{aD.{a答案：A;B;D解析：因为(a所以an−a即an−a①当an≠0,a②当an=0或an−113.（2020山西大学附中高二上期中）已知a＞0,b＞0,若a,2,b成等比数列,则a+4b的最小值为.答案：8解析：由a＞0,b＞0,a,2,b成等比数列,得ab=4,所以a+4b≥2a⋅4b=4ab14.设数列{an}的前n项和为S（1）求a2（2）求证：数列{S答案：（1）∵a1+2a2当n=2时,a1当n=3时,a1（2）证明：∵a∴当n≥2时,a1①-②得na=na∴−Sn+2∴S∵S∴S故{